コックス「ガロワ理論」 2.2節の演習問題1

演習問題1

σ_rはr次かつ各x_i (1≤i≤n)について高々1次なので、

次数付き辞書式順序のルールに従えばiが小さい順にr個のx_iを、

一つずつかけ合わせたものが先頭項である。

したがってσ_rの先頭項は x₁x₂..x_r。

演習問題2

(a)

β=(b₁, b₂,..., b_n), γ=(c₁, c₂,..., c_n) (各b_i≥0, c_i≥0は整数) とし、

x^α, x^β, x^γの次数をそれぞれ

A=deg(x^α)=a₁+a₂+...+a_n,

B=deg(x^β)=b₁+b₂+...+b_n,

C=deg(x^γ)=c₁+c₂+...+c_n

とする。x^α>x^βより以下の場合がある。

(I) A>B,

(II) A=Bかつ、あるj≥0が存在してa_i=b_i (i≤j), a_j+1>b_j+1。

(I)の場合、deg(x^α+γ)=A+C>B+C=deg(x^β+γ)だからx^α+γ>x^β+γ。

(II)の場合、a_i+c_i =b_i+c_i (i≤j), a_j+1+c_j+1>b_j+1+c_j+1となるからx^α+γ>x^β+γ。

以上によりいずれの場合もx^α+γ>x^β+γ。

(b)

(a)の定義に加え、δ=(d₁, d₂,..., d_n) (各d_i≥0は整数) 、

D=deg(x^δ)=d₁+d₂+...+d_nとする。

x^γ>x^δなので、(a)で調べた(I), (II)の場合のそれぞれが、さらに

・ C>D,

・ C=Dかつ、あるk≥0が存在してc_i=d_i (i≤k), a_k+1>b_k+1

の2つの場合に分かれるが、実質的には以下の2つの場合である

(i) A>BかつC≥D、またはA≥BかつC>Dの場合

いずれの場合もdeg(x^α+γ)=A+C>B+D=deg(x^β+δ)よりx^α+γ>x^β+δ。

(ii) A=BかつC=Dの場合

m=min(j,k)として、

a_i+c_i =b_i+d_i (i≤m), a_m+1+c_m+1>b_m+1+d_m+1となるからx^α+γ>x^β+γ。

(c)

x^α>x^βのときα>βと定義することにし、LT(f)= x^φ, LT(g)= x^ψとすると、

f= x^φ+∑_α<φ x^α, g= x^ψ+∑_β<ψ x^βだから、

LT(fg)=LT(x^φx^ψ+x^φ∑_β<ψ x^β+x^ψ∑_α<φ x^α+∑_α<φ∑_β<ψ x^αx^β)。

(a)(b)により、x^φx^ψ>(他の和に現れる任意の項)だから、

LT(fg)=x^φx^ψ=LT(f)LT(g)。

演習問題3

例2.2.4の手続きに従ってひたすら計算。

演習問題4

σ₁(α₁, α₂, α₃)=-b, σ₂(α₁, α₂, α₃)=c, σ₃(α₁, α₂, α₃)=-dである。

(2.17)において、-(2α₁+2α₂+2α₃)=-2σ₁(α₁, α₂, α₃)=2b。

α₁²+α₂²+α₃²+3α₁α₂+3α₁α₃+3α₂α₃

=(α₁+α₂+α₃)²-2(α₁α₂+α₁α₃+α₂α₃)+3(α₁α₂+α₁α₃+α₂α₃)

=σ₁²(α₁, α₂, α₃)+σ₂(α₁, α₂, α₃)=b²+c,

-(α₁+α₂)(α₁+α₃)(α₂+α₃)=-∑₃α₁²α₂-2σ₃(α₁, α₂, α₃),

ここで

f=∑₃ x₁²x₂とし、定理2.2.2の証明でのアルゴリズムで地道に計算して

f=σ₁σ₂-3σ₃を得るので、

-(α₁+α₂)(α₁+α₃)(α₂+α₃)=-σ₁(α₁, α₂, α₃)σ₂(α₁, α₂, α₃)+σ₃(α₁, α₂, α₃)

=bc-d

以上により与式のg(x)が得られる。

演習問題5

(a)

演習問題1によりLT(σ_r)=x₁x₂..x_r。演習問題2により

LT(cσ₁^b₁σ₂^b₂... σ_n^b_n)=cLT(σ₁^b₁)LT(σ₂^b₂)...LT(σ_n^b_n)=cx₁^{b₁+b₂+...+b_n}x₂^b₂+...+b_n... x_n^b_n。

(b)

写像(b₁,...,b_n)→(b₁+b₂+...+b_n,b₂+...+b_n,...,b_n)をμとし、

(b₁+b₂+...+b_n,b₂+...+b_n,...,b_n)=μ(b₁,...,b_n)=μ(c₁,...,c_n)=(c₁+c₂+...+c_n,c₂+...+c_n,...,c_n)となったとすると、

第n番目の成分を比較してc_n=b_n。

すると第n-1番目の成分はb_n-1+b_n=c_n-1+b_nとなるからb_n-1=c_n-1。

同様に繰り返して結局(b₁,...,b_n)=(c₁,...,c_n)となるから、

μは1対1である。

(c)

(a)で与えられたh(u₁,...,u_n)の各項に対する先頭項の中で、

極大の項l_LTが存在する。l_LTはh(u₁,...,u_n)の項l(u₁,...,u_n)に由来するとする。

φ(h)=h(σ₁,...,σ_n)においてl_LT≤m_LTなる項m_LTがあったとする。

m_LTはh(u₁,...,u_n)のある項m(u₁,...,u_n)に由来し、m_LT=LT(m(σ₁,...,σ_n))となる。

l_LT<m_LTなら、l_LTが先頭項の中で極大すなわちl_LT≥m_LTと矛盾するから、

l_LTとm_LT等しい大きさを持つが、(b)によりμは1対1だから、

m(u₁,...,u_n)とl(u₁,...,u_n)は同じ項である。

したがって、l_LTはh(σ₁,...,σ_n)の各項の先頭項の中で最大となるので、

h(σ₁,...,σ_n)の先頭項である。さらに、l(u₁,...,u_n)以外の項からは、

l_LTに等しい大きさを持つ項は出ないので、

φの作用でl_LTが打ち消されて0になるということは起こりえないこともわかる。

h(u₁,...,u_n)≢0、すなわち、あるb_iが0でないかまたはh(u₁,...,u_n)≡a≠0なら、

(a)によりl_LT≠0が存在するかまたはφ(h)=a≠0だから、Ker(φ)={0}。

故にφは全単射となるので、F[u₁,...,u_n]≃F[σ₁,...,σ_n]、

すなわち逆写像φ^-1: F[σ₁,...,σ_n]→F[u₁,...,u_n]が存在して全単射である。

定理2.2.2によりF[x₁,...,x_n]の任意の対称多項式s∈F[σ₁,...,σ_n]に対し、

s=f(σ₁,...,σ_n)=g(σ₁,...,σ_n)となったとすると、

f(σ₁,...,σ_n)-g(σ₁,...,σ_n)=0にφ^-1を作用させればf(u₁,...,u_n)-g(u₁,...,u_n)=0より

多項式としてf=gとなるから、定理2.2.7が従う。

演習問題6

h=u₁u₃-u₂²とするとφ(h)=0となり、hは自明でないKer(φ)の元である。