コックス「ガロワ理論」 3.1節の演習問題1

演習問題1

(a)

gが定数なら、I=<g>=gF[x]で、

gg^-1=1となるg^-1∈F⊂F[x]も<g>の元だから1∈<g>= I。

すなわちIは自明なイデアルF[x]に一致する

逆にI=<g>=gF[x]=F[x]ならgはF[x]の単数だからgは定数。

(b)

hが定数ならF[x]の単数だから、

<f>=<gh>=ghF[x]=gF[x]=<g>=I。

逆にI=<f>なら、<g>=I=<f>=<gh>だから、

任意のp₁∈F[x]に対しp₂∈F[x]が存在してgp=ghq。

これよりg(p₁-hp₂)=0。F[x]は体だから整域で、

g≠0だからp₁=hp₂。

もしdeg(h)>0ならdeg(p₁)>deg(p₂)である。

するとp₂に対しあるp₃∈F[x]が存在して、

同様にしてp₂=hp₃, deg(p₂)>deg(p₃)。

以下繰り返して非負整数の無限降下列deg(p₁)>deg(p₂)>deg(p₃)...

が得られることになるがこれは不可能。

したがってdeg(h)=0だからhは定数である。

演習問題2

環準同型φ: F→Lが存在したとする。

環準同型は乗法の単位元を保つからφ(1_F)=1_L。

φ(a)=0_LとなるFの元a≠0_Fが存在したとすると

Fは体なのでa^-1∈Fが存在し、

0_L=φ(a)φ(a^-1)=φ(aa^-1)=φ(1_F)=1_Lとなり矛盾。

したがってKer(φ)={0_F}。

するとa,b∈Fに対しφ(a)=φ(b)なら、

0_L=φ(a)-φ(b)=φ(a-b)よりa-b=0_Fだからa=bとなりφは1対1。

φはFからIm(φ)=φ(F)への写像として全単射となり、

したがって同型写像である。

よってF≃φ(F)。

演習問題3

定理A.1.17によりIは単項イデアルだから、

任意のIについてあるg∈F[x]が存在してI=<g>。

すると、任意のa∈F[x]について定理A.1.14により、

あるq_a, r_aが一意に存在してa= r_a+gq_a=r_a+I。

明らかにφ(1)=1+Iだからφは乗法の単位元を保つ。

任意のa,b∈F[x]について、a=r_a+I, b=r_b+I

とすれば、a+b=r_a+I+r_b+I=r_a+r_b+Iだから

φ(a+b)=r_a+r_b=φ(a)+φ(b)。

またab=(r_a+I)(r_b+I)=r_ar_b+Iだから、φ(ab)=r_ar_b=φ(a)φ(b)。

したがってφは環準同型。

演習問題4

復習した。