コックス「ガロワ理論」 2.4節の演習問題2

演習問題8

(a)

ΔがF[σ₁,...,σ_n]において可約、すなわち
Δ=ABでA,B∈F[σ₁,...,σ_n]かつAもBも定数でないと仮定する。

系A.5.7によりF[x₁,..., x_n]はUFDで、Δ∈F[x₁,...,x_n]だから、

Δ=∏_i<j (x_i-x_j)²の因数分解は一意なので、

Aには∏_i<j (x_i-x_j)²の積の少なくとも一つが含まれる。

したがって、Aはあるx_i-x_jで割り切れる。

(b)

例えば(i l)(j m)∈S_n。

したがって、任意のi,j,l,mについて、

σ(i)=l, σ(j)=mとなるσ∈S_nが存在する

(c)

(a)によりA=C(x_i-x_j) (C∈F[x₁,..., x_n])。

A∈F[σ₁,...,σ_n]なのでAは対称式だから、

任意のl,mに対し、σ(i)=l, σ(j)=mとなるσ∈S_nの作用で

不変でなければならない。

例えばσ=(i l)(j m)について(2.31)式から(i l)(j m)·A=A=C(x_i-x_j)、

これよりA=(j m)^-1(i l)^-1·C(x_i-x_j)=C'(x_l-x_m) (C'∈F[x₁,..., x_n])が

任意のl,mについて成り立つ。

したがって、Aはすべてのl,mに対しx_l-x_mで割り切れる。

(d)

(c)によりA=c∏_i<j (x_i-x_j) (c∈F[x₁,..., x_n])となるから、

Aは∏_i<j (x_i-x_j)=√Δの倍式である。

上と全く同様に、Bも√Δの倍式である。

(e)

(d)により、A=c∏_i<j (x_i-x_j) (c∈F[x₁,..., x_n])である。

もしcが多項式なら、あるi,jに対し、

c=d(x_i-x_j) (d∈F[x₁,..., x_n])となるので、

A=D(x_i-x_j)²(D∈F[x₁,..., x_n])となる。

すると(c)と同様にしてAはすべてのl,mに対し、

(x_l-x_m)²で割り切れるから、A=a∏_i<j (x_i-x_j)²=aΔ (a∈F)となり、

Δ=ABにおいてB=a^-1は定数となるから、

AもBも定数でない事に反する。故にcは定数だから、

Aは∏_i<j (x_i-x_j)=√Δの定数倍である。

したがって、B=Δ/A=c^-1√ΔとなりBも√Δの定数倍。

ところがFの標数が2でなければ、命題2.4.1により√Δは、

定義2.2.1の対称式の定義に反するから√Δ∉F[σ₁,...,σ_n]。

したがってA,B ∉F[σ₁,...,σ_n]でA,B ∈F[σ₁,...,σ_n]に反する。

以上により、ΔはF[σ₁,...,σ_n]において既約。

(f)

(e)においてFの標数が2なら、

演習問題5により√Δは対称だから、

Δ=AB, A=B=√Δと因数分解できるのでΔは可約である。

演習問題9

普通に計算して

y₁-y₂=(x₁-x₄)(x₂-x₃),

y₁-y₃=(x₁-x₃)(x₂-x₄),

y₂-y₃=(x₁-x₂)(x₃-x₄)

をΔ(θ)=(y₁-y₂)(y₁-y₃)(y₂-y₃)に代入してΔ(θ)=Δを得る。

演習問題10

(a)

F[σ₁,...,σ_n]においてCとDに共通因数はない。

(2.19)式によりF[σ₁,...,σ_n]≃F[x₁,...,x_n]で、

系A.5.7によりF[x₁,..., x_n]はUFDだから、

F[σ₁,...,σ_n]もUFD。したがってC^mとD^mにも共通因数はないので、

任意のm∈ℕについてF[σ₁,...,σ_n]でC^mとD^mは互いに素である。

(b)

あるp∈F[x₁,...,x_n]が存在して、CとDを割り切ると仮定する。

このときあるq_C, q_D∈F[x₁,...,x_n]が存在して、

C=pq_C, D=pq_Dである。

C,D∈F[σ₁,...,σ_n]だから、任意のσ∈S_nについて、

(2.31)式によりC=σ·C=(σ·p)(σ·q_C), D=σ·D=(σ·p)(σ·q_D)となり、

σ·pはCとDを割り切る。

(c)

S_nの位数はn!だから、C^n!のn!個の各Cを、

n!個の各σ·pで割ることができるので、

C^n!はPで割り切れる。同様にD^n!もPで割り切れるから、

C^n!, D^n!はPを共通因数として持つ。

2.2節演習問題7によりP∈F[σ₁,...,σ_n]だが、

これはF[σ₁,...,σ_n]においてCとDに共通因数はない事に反する。

したがって、CとDを割り切るp∈F[x₁,...,x_n]は存在しない。

演習問題11

(a)

2.2節演習問題8によりfは、

基本対称式に関するF係数有理関数であるから、

ある互いに素なC,D∈F[σ₁,...,σ_n]が存在してf=C/D。

演習問題10により、F[x₁,...,x_n]においても、

CとDは互いに素である。

(b)

f=A/B=C/DよりAD=BC。

系A.5.7によりF[x₁,..., x_n]はUFDで、

CとDは互いに素だから、CはAを割り、DはBを割るから、

あるg∈F[x₁,...,x_n]が存在してA=gC, B=gDであるが、

A,Bは互いに素と仮定したから、gはF[x₁,...,x_n]の単数。

したがってg∈FとなりA,BはそれぞれC,Dの定数倍である。

(c)

(b)により、g∈Fとして

A=gC∈F[σ₁,...,σ_n], B=gD∈F[σ₁,...,σ_n]。

演習問題12

直接計算により、n=2のとき

|∂σ₁/∂x₁ ∂σ₂/∂x₁|

|∂σ₁/∂x₂ ∂σ₂/∂x₂|

=
|1 x₂|
|1 x₁|
=x₁-x₂=√Δ

n=3のとき

|∂σ₁/∂x₁ ∂σ₂/∂x₁ ∂σ₃/∂x₁|

|∂σ₁/∂x₂ ∂σ₂/∂x₂ ∂σ₃/∂x₂|

|∂σ₁/∂x₃ ∂σ₂/∂x₃ ∂σ₃/∂x₃|

=
|1 x₂+x₃ x₂x₃|

|1 x₁+x₃ x₁x₃|
|1 x₁+x₂ x₁x₂|

=(x₁-x₂)(x₁-x₃)(x₂-x₃)=√Δ