コックス「ガロワ理論」 2.2節の演習問題2

演習問題7

置換σ∈S_nはn個の添字の並べかえで、S_nは群だからτ∈S_nとしてτσ∈S_n

なので、τσもn個の添字の並べかえだから、τS_n=S_n。

より正確には、写像φ: σ∈S_n→τσ∈S_nを考えると、

任意のσ∈S_nに対しσ=φ(τ^-1σ)だからφは全射で、

τ^-1σは一意だからφは単射である。

したがってσがS_nの全ての元を動くとき、

φ(σ)=τσもS_nのすべての元を動くから、τS_n=S_n。

したがって任意のτ∈S_nについて、p=∏_σ∈Sn σ·f, s= ∑_σ∈Sn σ·fとして

τ·p=τ·(∏_σ∈Sn σ·f)= ∏_σ∈Sn(τσ)·f=∏_ρ∈Sn ρ·f=p

τ·s=τ·(∑_σ∈Sn σ·f)= ∑_σ∈Sn (τσ)·f=∑_ρ∈Sn ρ·f=s

ここでラベルの変換ρ=τσを行った。

すなわち任意のτの作用のもとでp, sは不変だから、

p, sは対称多項式である。

演習問題8

(a)

B=e·BだからBC= e·B∏_{σ∈Sn∖{e}}σ·B=∏_σ∈Snσ·B

なので演習問題7によりBCは対称多項式。

(b)

A/B, BCが対称式だから(A/B)BC=ACは対称多項式。

(c)

AC, BCはF係数対称多項式なので、

定理2.2.2により基本対称式のF係数多項式として書けるから

f=AC/BCは基本対称式のF係数有理関数。

演習問題9

(a)

(2.5)式風に書くなら

x₁^a₁x₂^a₂x₃^a₃...x_n^a_n<x₁^b₁x₂^b₂x₃^b₃...x_n^b_n

⇔ a₁<b₁、またはa₁=b₁, a₂<b₂、またはa₁=b₁, a₂=b₂, a₃<b₃、または...。

(b)

例えば(a)においてa₁<b₁であればa₂以下がどうなっていても

x₁^a₁x₂^a₂x₃^a₃...x_n^a_n<x₁^b₁x₂^b₂x₃^b₃...x_n^b_nだから、

例としてa₁=0<b₁=1, b_i=0 (i≥2)として

x₁> x₂^a₂x₃^a₃...x_n^a_nが無数の任意のx₁x₂^a₂x₃^a₃...x_n^a_nについて成り立つ。

(c)

f₁から先頭項を真に減少するには、LT(f₁)=x₁^a₁x₂^a₂x₃^a₃...x_n^a_n

で例えばa₁≠0だったとして、a₁を減少させていかなければならない。

減少させてf₂, f₃,...を得る 各ステップで、LT(f_i)およびこれと同じa₁

を持つ項のa₁を減少させることになるが、a₁≥0だから、

高々a₁ステップでa₁=0となる多項式f_j (j≤a₁)が得られ

LT(f_j)=x₂^b₂x₃^b₃...x_n^b_nを得る。

この間の各ステップで他のx_iの指数は増大できるが、

増大させるステップ数も高々a₁ステップで有限だから、

他のx_iの指数は高々有限量しか増大しない。

すなわち、(b)より無数の真に減少した先頭項があるのだが、

先頭項を具体的に指定していく操作は有限回しかできない。

次にb₂を高々b₂ステップだけ減少してf_k (k≤j+b₁)を得て

LT(f_j)=x₃^c₃...x_n^c_nを得、その次にc₃を高々c₃ステップだけ減少...

という過程を繰り返すと、nは有限だからx_nの指数までの全ての指数を

0まで減少し切るまでのステップ数も高々有限回であるから、

真に減少する多項式の列を作る過程は高々有限回で終了する。

したがって、真に減少するf₂, f₃,...の無限列を与えられたf₁から得ることはできない。

(d)

(2.7)式の先頭項から始めて、先頭項と同じ大きさの対称式を引いていく

定理2.2.2の証明のプロセスは全く同様に実行でき、

(c)により有限回で終了するから、辞書式順序を用いても定理2.2.2が従う。

演習問題10

演習問題4で計算した。∑₃ x₁²x₂=σ₁σ₂-3σ₃。

演習問題11

例2.2.6と同様に計算する。σ₁=-2, σ₂=-3, σ₃=-5である。

ちなみに簡約３次方程式はx³-(13/3) x²+205/27=0、

Δ=-1231で実根は一つでα=z₁+z₂-2/3, β=ωz₁+ω²z₂-2/3, γ=ω²z₁+ωz₂-2/3,

ただしz₁=∛{[-205/27+√(1231/27)]/2}, z₂=∛{[-205/27-√(1231/27)]/2}。

各問での求める方程式をy³+by²+cy+d=0とする。

(a)

b=-σ₂=3, c=σ₁σ₃=10, c=-σ₃²=-25より、

y³+3y²+10y-25=0。

(b)

b=-σ₁-3=-1, c=σ₂+2σ₁+3=-4, d=σ₁+σ₂+σ₃+1=-9より、

y³-y²-4y-9=0。

(c)

b=-σ₁+2σ₂=-10, c=σ₂²-2σ₁σ₃=-11, d=-σ₃²=-25より、

y³-10y²-11y-25=0。

演習問題12

(a)

a₁,...a_nが全て異なれば、fの可能な項の数は、

単に異なるn個のx_i^aiを並べ替える順列の数だから、項の数は_nP_n=n!。

(b)

i番目のグループに含まれるl_i個の添字{k(i,j)}(1≤j≤l_i)に対し、

∏_1≤j≤li x_k(i,j)^a_k(i,j)の積の中でl_i!通りの添字の並べかえをしたものは全て同じ項を与える。

対称多項式においては相異なる項の和だけを考えるから、

(a)の結果において各iについてl_i!重の多重数え上げを打ち消して、

項の数はn!/( ∏_1≤i≤r l_i!)。