シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第45章練習問題

45.1

(a)

p=3のとき解は(1,0), (2,0), (0,1), (0,2)でM₃=4。

p=5のとき解は(1,0), (4,0), (0,1), (0,4)でM₅=4。

p=13のとき解は(1,0), (12,0), (0,1), (6,2), (7,2), (2,6),

(11,6), (2,7), (11,7), (7,11), (6,11), (0,12)でM₁₃=12。

p=17のとき解は(1,0), (0,1), (16,0), (0,16), (3,3), (14,3), (3,14),

(6,4), (4,6), (11,4), (4,11), (13,6), (6,13), (13,11), (11,13), (14,14) でM₁₇=16。

なお、

p=7のとき解は(1,0), (0,1), (6,0), (0,6), (2,2), (5,2), (2,5), (5,5) でM₇=8。

p=11のとき解は(1,0), (0,1), (10,0), (0,10), (5,3), (3,5), (6,3),

(3,6), (8,5), (5,8), (8,6), (6,8)でM₁₁=12。

(b)

p=19のとき解は(1,0), (0,1), (18,0), (0,18), (4,2), (2,4), (15,2), (2,15),

(7,3), (3,7), (12,3), (3,12), (17,4), (4,17), (16,7), (7,16), (16,12), (12,16),

(17,15), (15,17) でM₁₉=20。

p≡1 (mod 4)のときM_p=p-1、p≡3 (mod 4)のときM_p=p+1と思われる。

この予想が正しければ、M₁₃₇₃=1372, M₁₉₈₇=1988。

計算機で計算すると実際そうなっている。

(c)

...

45.2

(a)

(0,1), (0,6), (1,3), (1,4), (5,2), (5,5), (6,0)の7つ。

(b)

(0,1), (0,10), (2,0), (6,0), (7,0), (8,0), (10,0)の7つ。

mod pにおいて、(0,1), (0,p-1), (p-1,0)が常に解であることは容易に分かる。

様々な奇素数p≢1 (mod 5)について試すと、

上のy=0,1,p-1以外の2からp-2までの、p-3個の数が全て現れていて、

全部で解はp個になっている。

また、p≡1 (mod 5)の奇素数については、限られたyしか解に現れない。

(c)

定理45.2の証明と全く同様に証明できる。

まずp≢1 (mod 5), 0≤b₁<p, 0≤b₂<pなるb₁,b₂について、

b₁⁵+1≡b₂⁵+1 (mod p)ならb₁=b₂であることを示す。

p≢1 (mod 5)よりp-1≢0 (mod 5)だから、gcd(p-1,5)=1。

したがって5u+(p-1)v=1の解u,vが存在する。

b₁⁵+1≡b₂⁵+1 (mod p)よりb₁⁵≡b₂⁵ (mod p)。

1≤b₁<p、1≤b₂<pなら、この両辺をu乗して5u =1-(p-1)v を用いれば、

Fermatの小定理からb₁≡b₂ (mod p)を得、1≤b₁<p、1≤b₂<pだからb₁=b₂。

b₁,b₂のいずれかが0、例えばb₁=0ならb₂⁵≡0 (mod p)で、

pは素数だからb₂=0を得る。

上により、異なるb₁,b₂ (0≤b₁<p, 0≤b₂<p)に対し常にb₁⁵+1≢b₂⁵+1 (mod p)だから、

f(x)=x⁵+1としてf(0), f(1),... f(p-1)はmod pにおいて全て異なる。

f(0), f(1),... f(p-1)のうちmod pにおいて平方剰余であるものは、

定理23.1により0以外では(p-1)/2個あり、

0でない各平方剰余f(x_i) (i=1,2,.., (p-1)/2)についてy²≡ f(x_i) (mod p)の解は2つあるから、

解の総数は1+2(p-1)/2=p。

同様にすればより一般的に、p,qを異なる素数として

Diophantus方程式y²≡x^q+a (mod p)は、

p≢1 (mod q)のときp個の解を持つことが示される。

45.3

p	7	13	19	31	37	43	61
4p-ap2	3=3×12	3=3×12	27=3×32	0=3×02	27=3×32	3=3×12	75=3×52

p	67	73	79	97	103	109
4p-ap2	243=3×92	192=3×82	300=3×102	363=3×112	363=3×112	432=3×122

3×平方数の形になる。

45.4

虚数乗法とやらを持つのは(b)と(c)の楕円曲線と思われる。

(a)

p	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41
Np	2	2	5	5	9	17	15	15	15	35	32	27	46
ap	0	1	0	2	2	-4	2	4	8	-6	-1	10	-5

p	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
Np	49	45	59	49	59	61	69	59	91	82	75	107
ap	-6	2	-6	10	2	6	2	14	-12	1	14	-10

(b)

p	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41
Np	2	3	5	7	15	13	17	19	31	43	41	31	47
ap	0	0	0	0	-4	0	0	0	-8	2	0	-6	0

p	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
Np	31	47	63	59	61	71	87	73	87	83	89	97
ap	12	0	-10	0	0	-4	-16	0	-8	0	0	0

(c)

p	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41
Np	2	5	5	7	17	13	23	21	23	29	31	37	35
ap	0	-2	0	0	-6	0	-6	-2	0	0	0	0	6

p	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
Np	33	47	53	65	61	53	71	75	79	101	107	87
ap	10	0	0	-6	0	14	0	-2	0	-18	-18	10

(d)

p	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41
Np	2	0	6	7	16	15	11	17	26	19	24	33	48
ap	0	3	-1	0	-5	-2	6	2	-3	10	7	4	-7

p	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
Np	52	47	51	51	60	57	59	62	87	85	92	104
ap	-9	0	2	8	1	10	12	11	-8	-2	-3	-7

45.5

(a)

p≢1 (mod 3)。証明は45.2(c)と全く同様。

(b)

p	7	13	19	31	37	43	61
4p-ap2	12=3×22	48=3×42	12=3×22	108=3×62	48=3×42	108=3×62	48=3×42

p	67	73	79	97	103	109
4p-ap2	12=3×22	192=3×82	300=3×102	192=3×82	12=3×22	432=3×122

45.3のE₁と同様、4p-a_p²は3×平方数の形になるが、特に3×(偶数)²である。

(c)

p=7, a_p=-4, 4p-a_p²=12=3×2², (A,B)=(5,1)(4,2)(1,3)

p=13, a_p=2, 4p-a_p²=48=3×4², (A,B)=(7,1)(5,3)(2,4)

p=19, a_p=8, 4p-a_p²=12=3×2², (A,B)=(8,2)(7,3)(1,5)

p=31, a_p=-4, 4p-a_p²=108=3×6², (A,B)=(11,1)(7,5)(4,6)

p=37, a_p=-10, 4p-a_p²=48=3×4², (A,B)=(11,3)(10,4)(1,7)

p=43, a_p=8, 4p-a_p²=108=3×6², (A,B)=(13,1)(8,6)(5,7)

p=61, a_p=14, 4p-a_p²=48=3×4², (A,B)=(14,4)(13,5)(1,9)

p=67, a_p=-16, 4p-a_p²=12=3×2², (A,B)=(16,2)(11,7)(5,9)

p=73, a_p=-10, 4p-a_p²=192=3×8², (A,B)=(17,1)(10,8)(7,9)

p=79, a_p=-4, 4p-a_p²=300=3×10², (A,B)=(17,3)(13,7)(4,10)

p=97, a_p=14, 4p-a_p²=192=3×8², (A,B)=(19,3)(14,8)(5,11)

p=103, a_p=20, 4p-a_p²=12=3×2², (A,B)=(20,2)(13,9)(7,11)

p=109, a_p=2, 4p-a_p²=432=3×12², (A,B)=(19,5)(17,7)(2,12)

(d)

(A,B)の組は常に3つ。うち奇数同士の組が2つ、偶数同士の組が１つとなっていて、

偶数同士の組はA=|a_p|である。

(e)

(i) p=541に対し、(46,4)の組から|a_p|=46。

(ii) p=2029に対し、(2,25)の組から|a_p|=2。

(iii) p=8623に対し、(28,106)の組から|a_p|=28。