コックス「ガロワ理論」 11.2節の演習問題1

演習問題1

Fは有限体なので、命題11.1.1によりある素数pについて

F_p⊂F。fはF上規約だから、その部分体F_pでも規約。

したがって命題11.2.1によりfは分離的。

演習問題2

(a)

定理11.2.2でn=3とおけばN₁+3N₃=p³。

N₁=pだからN₃=(p³-p)/3。

また定理11.2.2でn=4とおけばN₁+2N₂+4N₄=p⁴。

N₁=p, 2N₂=p²-pからN₃=(p⁴-p²)/4。

(b)

pⁿ=4, すなわちp=2,n=2のとき、(11.7)においてm=1,2。

N₁={x,x+1}である。N₂の元はF₂上の2次の規約単多項式。

x²+ax+b∈F₂[x]ならa,b=0または1だから、

全ての組について探すとN₂={x²+x+1}。

したがって、x⁴-x=x(x+1)(x²+x+1)。

pⁿ=8, すなわちp=2,n=3のとき、(11.7)においてm=1,3。

N₃の元はF₂上の3次の規約単多項式で、

上と同様にしてN₃={ x³+x+1, x³+x²+1}だから、

x⁸-x= x(x+1)(x³+x+1)(x³+x²+1)。

演習問題3

N₆=(μ(1)p⁶+μ(2)p³+μ(3)p²+μ(6)p)/6=(p⁶-p³-p²+p)/6。

N₃₆=(μ(1)p³⁶+μ(2)p¹⁸+μ(3)p¹²+μ(4)p⁹+μ(6)p⁶

+μ(9)p⁴+μ(12)p³+μ(18)p²+μ(36)p)/36

=(p³⁶-p¹⁸-p¹²+p⁶)/36。

演習問題4

(a)

定理11.1.4によりF_pⁿが存在し、命題11.1.1により[F_pⁿ :F_p]=n。

定理11.1.7によりF_p⊂F_pⁿはGalois拡大だから分離拡大なので、

定理5.4.1（原始元の定理）によりF_pⁿ=F_p(α)となるα∈F_pⁿが存在する。

αのF_p上の最小多項式はF_p上規約で、次数はn。

故にN_nの元が少なくとも一つ存在するので、N_n>0。

(b)

n=1のときはN_n=p>0。

n≥2とし、nの素因数分解をq₁^a1...q_s^as、q₁,...,q_sの中で最小の素数をq_minとする。

Möbius函数の絶対値は1または0だから、定理11.2.4のN_nの式より

N_n≥(pⁿ-|p^n/q_min+p^n/q_min-1+...+p|)/n

=[ pⁿ-p(p^n/q_min+1)/(p-1)]/n

=(pⁿ⁺¹-pⁿ-p^n/q_min+1+p)/[n(p-1)]

n≥2、q_min≥2なのでn≥n/q_min+1だから、p≥2も用いて

N_n>(pⁿ⁺¹-2pⁿ)/[n(p-1)]=pⁿ(p-2)/[n(p-1)]≥0。

演習問題5

Fは標数pだから、命題11.1.1によりあるnについて|F|=pⁿで、

すべての0でないα∈FはFの乗法群F^*を作るから、|F^*|=pⁿ-1。

ある1≤d≤pⁿ-1なるdを、α^d=1となる最小の冪とすると、

αの冪からなる巡回群<α>について|<α>|=dで、<α>はF^*の部分群だから、

定理A.1.1（Lagrangeの定理）によりd|(pⁿ-1)。

gcd(p,pⁿ-1)=1だから、gcd(p,d)=1。

演習問題6

(a)

例11.2.5によりN₄=(p⁴-p²)/4だからp=2のときN₄=3。

x⁴+ax³+bx²+cx+d∈F₂[x]をF₂上規約とする。

a,b,c,d=0または1だから、全ての組について、

まずx=0,1が根でないものを探す。

d=0ならx=0が根なので可約だからd=1。

またa,b,cのうち偶数個が1ならx=1が根なので可約。

すると残るのはx⁴+x+1, x⁴+x²+1, x⁴+x³+1, x⁴+x³+x²+x+1の4つ。

ところでN₂={x²+x+1}で(x²+x+1)²=x⁴+x²+1だからx⁴+x²+1は可約。

N₄=|N₄|=3だから、以上によりN₄={x⁴+x+1, x⁴+x³+1, x⁴+x³+x²+x+1}。

(b)

素直に展開するだけ。

(c)

αがx⁴+x³+1の根なら、(1/α)⁴+1/α+1=(α⁴+α³+1)/α⁴=0だから、

1/αはx⁴+x+1の根。

演習問題7

g+<f>, h+<f>∈R、a,b∈F_pとすると、定理11.1.2によりa^p=a, b^p=bなので、

T(a(g+<f>)+b(h+<f>))=T(ag+bh+<f>)=(ag+bh)^p+<f>=(ag)^p+(bh)^p+<f>

=a^pg^p+b^ph^p+<f>=ag^p+bh^p+<f>=aT(g+<f>)+bT(h+<f>)。

したがってTはF_p上の線型写像。

演習問題8

定理11.2.4において、nの素因数分解をq₁^a₁...q₁^a_sとする。

N_nの式の和において、μ(m)が0でないのは、

mが平方因子を含まないときだけだから、

mはq₁,...,q_sの中の素数の積である。

Möbius函数の定義によりmが偶数個の素数の積の時μ(m)=1,

奇数個の素数の積の時μ(m)=-1だから、(11.10)と定理11.2.4は同値。

演習問題9

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