コックス「ガロワ理論」 10.1節の演習問題2

演習問題8

(a)

ℚ=F₀⊂F₁⊂... ⊂F_n⊂ℝ, α∈F_nで、1≤i≤nについて

F_i=F_i-1(√(a_i²+b_i²))(1≤i≤n)となるa_i,b_i∈F_i-1があるようなものが存在したとする。

F_n⊂Pを数学的帰納法で証明する。

Pはℝの部分体なので標数0だから、ℚ=F₀⊂P。

F_i-1⊂Pと仮定すると、a_i,b_i∈F_i-1に対し√(a_i²+b_i²)∈PだからF_i=F_i-1(√(a_i²+b_i²))⊂P。

したがってF_n⊂Pとなるからα∈P。

逆にα∈Pとする。

...作図自体は複素平面上で行われ、αは最後に実軸に持っていくだけなので、

複素平面上でどう思えばいいかがいまいちわからない・・・。

(b)

...

演習問題9

OA=OB=aとすると、AB=√2a。

ABを直径とした半円の面積はπ(AB/2)²/2=πa²/4で、

四分円OABの面積に等しい。

四分円OABの弦ABと弧ABに囲まれた図形の面積をSとすれば、

図の弓型の面積は、ABを直径とした半円の面積からSを引いたものだから、、

四分円OABの面積からSを引いたもの、すなわち△OABの面積に等しい。、

演習問題10

(a)

lim_x→+0 xcot(πx/2)=(2/π) lim_t→+0 tcot t=(2/π) lim_t→+0 cos t/(sin t/t)=2/π。

ただしlim_t→+0 sin t/t=1を用いた。

(b)

y軸は作図可能だから、(a)により円積曲線とy軸の交わりから、

2/πが作図可能なので、定理10.1.4の証明からπ/2,π,√πが作図可能。

したがって単位円の面積πに等しい面積をもつ、

一辺が√πの正方形が作図可能。

(c)

0<a≤1なので0<sin(πa/2)≤1, 0≤cos(πa/2)<1。

図より√(a²+b²)cosθ=b=acot(πa/2)=acos(πa/2)/sin(πa/2)で、

√(a²+b²)=acos(πa/2)/sin(πa/2)だから、cosθ=cos(πa/2)。

0<θ≤π/2なのでθ=πa/2。

(d)

原点から出るθの半直線と円積曲線の交わりをA(a,b)とすると、

aは作図可能。したがってa/3は作図可能だから、

(a/3,0)からx軸に垂線を立てて、B(a/3, (a/3)cot((πa/6)))が作図可能。

半直線OBとy軸のなす角は(c)によりπa/6=θ/3だから、

半直線OBはθの三等分線である。

(e)

0<θ<2πについて、0<θ/4<π/2を(d)によって3等分した角を4倍すればよい。

(f)

作図可能な全ての数αについて、a/αが作図可能だから、

θのα等分が可能である。

演習問題11

y=x²とx=2y²の交点はO(0,0)とA(2^-1/3, 2^-2/3)。

Aからx軸に垂線を下ろせば2^-1/3は作図可能、

さらに2^1/3が作図可能となるから、例10.1.10により立方体の倍積が可能。

演習問題12

(a)

θ=π/2すなわちy軸と、r=θの交点は(0,π/2)だから、π/2は作図可能。

したがってπ,√πが作図可能なので、単位円の面積πに等しい面積をもつ、

一辺が√πの正方形が作図可能。

(b)

半直線θ=θ₀とr=θの交点は(r,θ)=(θ₀,θ₀)。

これよりθ₀は作図可能。θ₀/3も作図可能なので、

円r=θ₀/3を描けば、r=θとの交点(r,θ)=(θ₀/3,θ₀/3)と原点を結ぶ直線は、

θ₀の三等分線。