34.6
(a)
α=a+bi√5, β=c+di√5 (a,b,c,d∈ℤ)とすると、
α±β=(a±c)+(b±d)i√5∈R, αβ=(ac-5bd)+(ad+bc)i√5∈RなのでRは環。
(b)
α=a+bi√5, β=c+di√5 (a,b,c,d∈ℤ)とすると、
1=αβ=(ac-5bd)+(ad+bc)i√5なので実部の式ac-5bd=1, 虚部の式 ad+bc=0。
abcd=0の場合、虚部の式とα≠0, β≠0よりa=0かつc=0、またはb=0かつd=0。
a=0かつc=0のときはac-5bd=-5bd=1だがb,d≥1だからこれは不可能。
b=0かつd=0のときはac-5bd= ac =1によりa=c =±1。
abcd≠0の場合、実部の式からc=(1+5bd)/a。
これを虚部の式に代入して、d(a2+5b2)=-bとなるが、|d|≥1, a2+5b2>|b|だからこれは不可能。
したがってabcd≠0となる場合はない。
以上により、Rの単数は±1のみである。
(c)
(3+2i√5)(a+bi√5)=85-11i√5を解いてa+bi√5=5-7i√5∈Rなので、
3+2i√5は85-11i√5を割る。
(d)
α=a+bi√5, β=c+di√5 (a,b,c,d∈ℤ)とし、2=αβ=(ac-5bd)+(ad+bc)i√5の解を
(b)と同様にして探すと、ac =2, b=0, d=0のみだから、2の約数は±1と±2だけである。
したがって2は素数。
(e)
ρ=ρ1+ρ2i√5とすると、N(ρ)=ρ12+5ρ22なので、0<N(ρ)<N(β)=6となるには、
(ρ1, ρ2)=( 1,0), (-1,0), (2,0), (-2,0), (0,1), (0,-1)しかない。
γ=γ1+γ2i√5として、α=βγ+ρの解はγ1=(-ρ1-5ρ2+21)/6, γ2=(ρ1-ρ2-9)/6なので、
上の(ρ1, ρ2)に対しそれぞれ、
(γ1, γ2)=(20/6,-8/6), (22/6, -10/6), (19/6, -7/6), (23/6, -11/6), (5/6, -10/6), (26/6, -8/6)
なので、γ∉Rだから、α=βγ+ρ, N(ρ)<N(β)を満たすγ,ρ∈Rの組は存在しない。
(f)
1+i√5=±2(a+bi√5)を満たすのはa=±1/2, b=±1/2の時で、±(1/2+i√5/2) ∉Rだから、
2は1+i√5を割らない。同様に2は1-i√5も割らない。
(g)
(d)と同様に3が素数であることは確かめられる。
ノルムの積法則が成り立つことは、α=a+bi√5, β=c+di√5 (a,b,c,d∈ℤ)として
直接計算によってN(αβ)= N(α) N(β)を確かめることで示せる。
また、N(u)=1となる必要十分条件はuが単数=±1であることを示すのも容易である。
N(1+ i√5)=6だから、1+i√5=αβとなる単数でも±(1+i√5)でもないα,βが存在すれば、
N(α)=a2+5b2=2または3となるが、このような(a,b)は存在しないから、
1+i√5は約数が単数と±(1+i√5)しかないので素数である。
同様に1-i√5も素数である。
したがって、6は2通りの素因数分解を持つので、Rにおいては素因数分解は一意でない。
(h)
9=32=(2+i√5)(2-i√5)において、
N(2+i√5)=9=32だから2+i√5=αβとなる単数でも±(2+i√5)でもないα,βが存在すれば、
α=a+bi√5 (a,b∈ℤ)としてN(α)=a2+5b2=3となるが、このような(a,b)は存在しないから、
2+i√5は約数が単数と±(2+i√5)しかないので素数である。同様に2-i√5も素数である。
したがって9も2通りの素因数分解を持つ。
(i)
...
34.7
A+Biの分解において各素因数は正規化されているものとしてよい。
u, x1,x2,...xrのいずれかが同じでない2つの積に対し、同じA,Bの値が与えられるとしたら、
A+Biは二通りの分解を持つことになるので、定理34.1に矛盾する。
34.8
(a)
2925=32·52·13より、2925の約数は
1, 3, 5, 9, 13, 15, 25, 39, 45, 65, 75, 117, 195, 225, 325, 585, 975, 2925。
(b)
4を法として1に合同な約数：1, 5, 9, 13, 25, 45, 65, 117, 225, 325, 585, 2925
4を法として3に合同な約数：3, 15, 39, 75, 195, 975
これよりD1=12, D3=6。
(c)
R(2925)=24
(d)
本質的には2925=32+542=182+512=302+452の3通り。和の順序を変える2通りの仕方と、
さらに各整数の符号を変える4通りの仕方があるから、全部で3·2·4=24通りとなって、
(c)のR(2925)と一致する。
34.9
定理34.6のD1- D3の式の係数4は誤植で、f1...fsが全て偶数の時、
D1- D3=(e1+1)(e2+1)...(er+1)が正しい。
(a)
327026700=22·33·52·7·112·13より、4を法として1に合同な約数は、52·13の約数、
およびそのそれぞれに4を法として3に合同な素因数偶数個の積をかけたものである。
52·13の約数は(2+1)(1+1)=6つ。
4を法として3に合同な素因数については、
33·7·112から0個の素因数を取り出す仕方は1通り、
2個の素因数を取り出す仕方は5通り、
4個取り出す仕方は5通り、6個取り出す仕方は1通りだから、
D1=6(1+5+5+1)=72。
一方、4を法として3に合同な約数は、4を法として1に合同な約数と、
4を法として3に合同な約数一つの積全てである。
つまり、33·7·112だけから作る約数の数(3+1)(1+1)(2+1)=24通りから、
上で計算した4を法として1に合同となる12通りを除いて、
52·13の約数6つをそれぞれにかければ良い。したがって
D3=6(24-12)=72。
したがってD1- D3=0。
一方、定理34.6において、4を法として3に合同な素因数の冪に奇数冪があるから、
D1- D3=0となるので一致する。
(b)
484438500=22·32·53·72·133より、4を法として1に合同な約数は、53·133の約数、
およびそのそれぞれに4を法として3に合同な素因数偶数個の積をかけたものである。
53·133の約数は(3+1)(3+1)=16個。
4を法として3に合同な素因数の積32·72から0個の素因数を取り出す仕方は1通り、
2個取り出す仕方は3通り、4個取り出す仕方は1通りだから、
D1=16(1+3+1)=80。
一方、4を法として3に合同な約数は、4を法として1に合同な約数と、
4を法として3に合同な約数一つの積全てである。
つまり、32·72だけから作る約数の数(2+1)(2+1)=9通りから、
上で計算した4を法として1に合同となる5通りを除き、
53·133の約数16個をそれぞれにかければ良い。したがって
D3=16(9-5)=64。
したがってD1- D3=16。
一方、定理34.6において、4を法として3に合同な素因数の冪は偶数冪だけなので、
D1- D3=(3+1)(3+1)=16となるので一致する。
2つの平方数の和への表し方は、2=12+12、5=12+22と13=22+32を用い、
2, 5,13の冪が偶数冪になるようにする。R(48443850)=4(D1- D3)=64だが、
このうち各々の平方される数の符号と和の順序の自由度で8通りあるから、
実質的には64/8=8通り。例えば
484438500=(2·3·5·7·13)2(12+22)(22+32)= (2·3·5·7·13)2(82+12)=218402+27302
484438500=(2·3·5·7·13)2(12+22)3 (22+32)=(2·3·5·7·13)2(72+42)=191102+109202
484438500=(2·3·7·13)2(12+22)3 (22+32)=(2·3·7·13)2(292+282)=158342+152882
484438500=(2·3·5·7)2(12+22)(22+32)3=(2·3·5·7)2(1012+282)=212102+58802
など。
0 件のコメント :
コメントを投稿