シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第34章練習問題1

34.1

(a) 原点を中心とした正方形

(b) 原点を中心とした正方形

(c) Aの位置ベクトルa=(a,b), Bの位置ベクトルb=(-b,a)から、

a·b=-ab+ab=0なので、∠AOB=∠R。

(d) (c)と同様に、Cを-α、Dを-iαに対応する点とすれば、

∠BOC=∠COD=∠DOA=∠AOB=∠R。また、OA=OB=OC=OD=√(a²+b²)なので、

四角形ABCDは原点を中心とした正方形となる。

34.2

(a) α/β=3+2i+(2-8i)/17よりγ=3+2i。ρ=α-βγ=2-2i。N(ρ)=8< N(β)=34。

(b) α/β=3-i+(-23-27i)/74よりγ=3-i。ρ=α-βγ=-4+i。N(ρ)=17< N(β)=74。

(c) α/β=3+i+(1+i)/2よりγ=3+i。ρ=α-βγ=4-2i。N(ρ)=20< N(β)=58。

34.3

定理34.2の証明において、γから升目の中央までの距離√2/2を用いると、

強い不等式N(ρ) ≤N(β)/2を得るが、N(ρ) <N(γ)を得たいだけなら、

γとα/βの距離が1より小さければ良い。

すなわち、α/βの点を中心として半径1の円の内部（円周は含まない）にある格子点は、

すべてγとして採用することができる。

(a)

円に入る格子点の数が最も少ないのはρ=0のときで格子点は1個だが、

これは除外すると、

α/βの点がRe(α/β)またはIm(α/β)が有理整数の場合に2個で最小である。

(b)

Re(α/β)もIm(α/β)も有理整数でなく、α/βの点とある格子点との距離≤√2-1なら、

3個の格子点が円に入るので、存在する。

(c)

Re(α/β)もIm(α/β)も有理整数でなく、α/βの点とある格子点との距離>√2-1なら、

4個の格子点が円に入るので、存在する。

(d)

5個の格子点を含むやり方はないから存在しない。

34.4

(a)

αまたはβが単数の場合の最大公約数が定義されていないが、

自然な選択は1で良いから、この場合は自明。

そこでαもβも単数でないとする。

αの素因数分解をα=u_απ₁π₂... π_r、βの素因数分解をβ=u_βσ₁σ₂... σ_sとすれば、

N(π_i)>1, N(σ_i)>1だから、最大公約数の素因数分解は、

αとβに共通の素因数の積からなり、一意的である。

したがって、γとδは単数の違いしかないので、γはδを割り、

ある単数uが存在してしてδ=uγとなる。

(b)

定理34.3により、αr+βsの形のGauss整数の0でないノルム最小の元μは、

αとβを割るから、α,βの公約数である。μの素因数分解は単数の不定性を除き、

αとβの素因数分解に共通なGauss素数の積で一意に表される。

α,βの最大公約数γは、単数の不定性を除き、

α,βに共通な全てのGauss素数の積として一意に表されるから、

あるGauss整数qが存在してγ=qμ, N(γ) ≥N(μ)となる。

したがってγもαr+βsの形で表せるから、問題の集合の元である。

(c)

gcd(α,β)= γより、あるGauss整数α', β'が存在してα=α'γ、β=β'γ、N(gcd(α', β'))=1

（つまり単数uが存在してgcd(α', β')=u）と書けるから、

αr+βs=γ(α'r+β's)= γt (t=α'r+β'sはGauss整数)と常に表すことが出来る。

(c)より問題の集合は最大公約数γのGauss整数倍で、(b)のμ

もその元だから、N(γ) ≤N(μ)である。しかし(b)からN(γ) ≥N(μ)なので、

N(γ) =N(μ)となり、μもまたα,βの最大公約数であるから、

(a)からある単数uが存在してしてμ=uγ。

αr+βs =μに解(r,s)が存在するので、適当に単数をかければαr+βs =γにも解が存在する。

さらに定理34.2の整除性から互除法も可能だから、

定理6.1の一次方程式定理に類似の定理が、単数の不定性を除きGauss整数でも成り立つ。

34.5

定理34.2の整除性から互除法が可能。ただし単数の不定性はある。

(a) -1+5i

(b) 1

(c) -7+4i

(d) 互いに互いを割り切り、ノルム最大になるのは16-120i。