シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第31章練習問題1

31.1

定理31.1の証明で√Dの代わりにαとおくだけで、全く同様に証明できる。

31.2

(a)

y=1のときyγ≈1.618よりx=2。x/y=2。

y=2のときyγ≈3.236よりx=3。x/y=1.5。

y=3のときyγ≈4.854よりx=5。x/y≈1.667。

y=4のときyγ≈6.472よりx=6。x/y=1.5。

y=5のときyγ≈8.090よりx=8。x/y=1.6。

y=6のときyγ≈9.708よりx=10。x/y≈1.667。

y=7のときyγ≈11.326よりx=11。x/y≈1.571。

y=8のときyγ≈12.944よりx=13。x/y=1.625。

y=9のときyγ≈14.562よりx=15。x/y≈1.667。

y=10のときyγ≈16.180よりx=16。x/y=1.6。

y=11のときyγ≈17.798よりx=18。x/y≈1.636。

y=12のときyγ≈19.416よりx=19。x/y≈1.583。

y=13のときyγ≈21.034よりx=21。x/y≈1.615。

y=14のときyγ≈22.652よりx=23。x/y≈1.643。

y=15のときyγ≈24.271よりx=24。x/y=1.6。

y=16のときyγ≈25.889よりx=26。x/y=1.625。

y=17のときyγ≈27.507よりx=28。x/y≈1.647。

y=18のときyγ≈29.124よりx=29。x/y≈1.611。

y=19のときyγ≈30.743よりx=31。x/y≈1.632。

y=20のときyγ≈32.360よりx=32。x/y=1.6。

x=21, y=13が最もγに近い。

(b)

γ≈1.618033989である。

x=34, y=21に対しx/y=1.619047619

x=55, y=34に対しx/y=1.617647059

x=89, y=55に対しx/y=1.618181818

x=144, y=89に対しx/y=1.617977528

x=233, y=144に対しx/y=1.618055556

x=377, y=233に対しx/y=1.618025751

x=610, y=377に対しx/y=1.618037135

x=987, y=610に対しx/y=1.618032787

x=1597, y=987に対しx/y=1.618034448

(c)

ある長方形から、その短辺を一辺とする正方形を切り出したときの残りの長方形が、

もとの長方形と相似、となるときのもとの長方形の辺の比が黄金比。

この定義からすると、美学とかどっちかというと後付けで、

実用上、木板なり石板なりの規格を取りやすいとか、

この規格に従っておけば、余りからもなんか作れそうとか、そういう話な気がする。

Euclid原論4巻の正五角形の作図定理の美しさが、

美学的というか神秘的なムードを漂わせてはいるので、

その辺から美学と関連付けられたんだろうか。まあどっちが先かよく知らんが。

現代的にはFermat素数の性質という理解から、

さらにGalois理論とも関連付けられる、面白い数。