32.1
(a)
D=2のときx2-2y2=-1。
最小解は(x,y)=(1,1)でともに奇数。
(1+√2)( 1-√2)=-1から、kを奇数として(1+√2)k( 1-√2)k=-1なので、
(1+√2)kによって解の無限列が生成される。
次の解はk=3で(x,y)=(7,5)。
ある解がx=2i+1, y=2j+1 (i,j ∈{ℕ,1})と、ともに奇数なら、
次の解は[2i+1+(2j+1)√2](1+√2)2=6i+8j+7+(4i+6j+5)√2だから、次の解も奇数である。
定理32.1と同様の論法が、負の値を絶対値に置き換えれば多分使えて、
(1+√2)kで解のすべてが生成されるのだろう。
D=3のときx2-3y2=-1。
x2≡-1 (mod 3)となるxは平方剰余の相互法則により存在しないから解はない。
D=5のときx2-5y2=-1。
最小解は(x,y)=(2,1)。
D=2の時と同様に、kを奇数として(2+√5)kによって解の無限列が生成される。
次の解は(x,y)=(38,17)。この場合についてはさらに練習問題37.4。
D=6のときx2-6y2=-1。
x2≡-1 (mod 3)となるxは平方剰余の相互法則により存在しないから解はない。
D=7のときx2-7y2=-1。
x2≡-1 (mod 7)となるxは平方剰余の相互法則により存在しないから解はない。
D=8のときx2-8y2=-1。
2y=tとおくとx2-2t2=-1で、D=2の場合に帰着されるが、
この解はたぶんtが奇数のものしかないので、解はない。
D=10のときx2-10y2=-1。
x2≡-1 (mod 2)かつx2≡-1 (mod 5)となる最小の解は(x,y)=(3,1)。
kを奇数として(3+√10)kによって解の無限列が生成される。
次の解は(x,y)=(117,37)。
D=11のときx2-11y2=-1。
x2≡-1 (mod 11)となるxは平方剰余の相互法則により存在しないから解はない。
D=12のときx2-12y2=-1。
x2≡-1 (mod 3)となるxは平方剰余の相互法則により存在しないから解はない。
D=13のときx2-13y2=-1。
x2≡-1 (mod 13)からx≡5 (mod 13)。
yが整数になる解として最小なのは(x,y)=(18,5)。
kを奇数として(18+5√13)kによって解の無限列が生成される。
次の解は(x,y)=(23382, 6485)。
D=14のときx2-14y2=-1。
x2≡-1 (mod 7)となるxは平方剰余の相互法則により存在しないから解はない。
D=15のときx2-15y2=-1。
x2≡-1 (mod 3)となるxは平方剰余の相互法則により存在しないから解はない。
ほか、D=17のときx2-17y2=-1。
x2≡-1 (mod 17)からx≡4 (mod 17)。
yが整数になる解として最小なのは(x,y)=(4,1)。
kを奇数として(4+√13)kによって解の無限列が生成される。
解が存在するのは、Dの素因数がが2またはp≡1 (mod4)なる素数のみのときで、
このときは無数の解が存在する。
Dがこのような数の平方数倍のとき（例えばD=8）も解を持ちうるが、
実際に持つかどうかはケースバイケースか（例えばD=8では持たなさそう）。
(b)
(x0+ y0√D) (x0- y0√D)=-1より、両辺を二乗すれば(x0+ y0√D)2(x0- y0√D)2=1。
(x0+ y0√D)2=x02+ Dy02+2x0y0√Dより、
(x,y)= (x02+ Dy02, 2x0y0)はx2-Dy2=1の解である。
(c)
y=5のときx=32。
すべての正の整数は(32-5√41)kによって生成される。
(d)
(x0+ y0√D) (x0- y0√D)=Mと(x1+ y1√D) (x1- y1√D)=1を辺々かけて、
(x0+ y0√D)(x1+ y1√D)=[x0x1+Dy0y1+(x0y1+x1y0)√D]が解を生成するから、
(x0x1+Dy0y1, x0y1+x1y0)はx2-Dy2=Mの解である。
x2-2y2=7のひとつの解は(x0, y0)=(5,3)なので、
x2-2y2=1の解(x1,y1)=(3,2), (17,12), (99,70), (577, 408),を用いて、
(x0, y0)=(5,3), (27, 19), (157, 111), (915, 647), (5333, 3771)
32.2
(a)
与式からx2≡7 (mod 11)となるが、 (7/11)=-1なので解はない。
(b)
与式からx2≡433≡4 (mod 11)。x≡±2 (mod 11)。
これを元に解を探すと与式の最小解は(42,11)。
この解とx2-11y2=1の無数にある解(10,3)...から解を無数に合成できる。
(c)
与式はx2≡3 (mod 11)。x≡5 or 6 (mod 11)。
だが解が見つからない・・・。
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