シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第33章練習問題2

33.9

(a)

α=a+b√3, β=c+d√3とすると、

練習問題33.7(d)からαβ=(ac+3bd)+(ad+bc)√3なので、

N(αβ)=(ac+3bd)²-3(ad+bc)²=a²c²+9b²d²-3a²d²-3b²c²=(a²-3b²)(c²-3d²)=N(α)N(β)

(b)

αβ=1=1+0√3なら1= N(αβ)=N(α)N(β)よりN(α)=±1。

α=a+b√3としてN(α)=a²-3b²=-1の有理整数解は練習問題32.1(a)により存在しないから、

N(α)≠-1。したがってN(α)=1。

(c)

α=a+b√3としてN(α)=a²-3b²=α(a-b√3)=1なら、

β=a-b√3∈Rとすればαβ=1。したがって、αは単数。

(d)(e)

(b)により、α=a+b√3が単数なら、(a,b)はPell方程式x²-3y²=1の有理整数解なので、

単数は無数に存在し、(c)によりこれ以外に単数は存在しない。

Pell方程式x²-3y²=1の有理整数解のうちa≥0,b≥0となるものは例えば、

(a,b)=(1,0), (2,1), (7.4)。

したがって単数は例えば

1, -1, 2+√3, -2+√3, 2-√3, -2-√3, 7+4√3, -7+4√3, 7-4√3, -7-4√3。

すべての単数は、x_k+y_k√3=(2+√3)^k (k≥0)から決まる

Pell方程式x²-3y²=1の正の有理整数解x_k, y_kを用いて、

±x_k±y_k√3（k=0のときの単数1, -1も含む）。

33.10

ケース2と全く同様に証明できる。

33.11

(a)

91+63i=7(13+9i)。7≡3 (mod 4)だから7はGauss素数。

N(13+9i)=2·5³なので、定理33.5によりGauss素数1+iは13+9iを割り、

91+63i=7(1+i)(11-2i)。

N(11-2i)=125=5³より、ノルムが5のGauss素数2+iまたは2-iが11-2iを割る。

実際11-2i=(2+i)(4-3i)。さらにN(4-3i)= 5²で、4-3i=(1-2i)(2+i)。

N(1-2i)=5なので1-2iはGauss素数。

したがって91+63i=7(1+i)(2+i)²(1-2i) 。

(b)

975=5²·39=39(2+i)²(2-i)²で、

39≡3 (mod 4)だから39はGauss素数。

N(2±i)=5は素数だから2±i はGauss素数。

(c)

N(53+62i)=6653は素数だから、53+62iはGauss素数。