35.9
(a)
g(X)=X3+αX2+(α2-10) X+α(α2-10)。
なおα4-10α2+1=0よりα2-10=-1/α2=-(√3-√2)2なので、
g(X)=X3+(√2+√3)X2-(√3-√2)2 X-(√3-√2)とも書ける。
(b)
α>0, 10-α2>0なので、a/b-α≤|a/b-α|≤1よりa/b≤1+αだから、(a)より
|g(a/b)|≤(1+α)3+α(1+α)2+(10-α2)(1+α)2+α(10-α2)= α2+24α+11=K
なお、K≈96.41<96.42。
(c)
1/b4≤|a/b-α||g(a/b)| ≤K/b5よりb≤K<97。
このbに対し、|a/b-α|≤1/b5を満たすのはa=4, b=1, a/b=4のみ。
(d)
a=4, b=1, a/b=4のみ。
やってみると、実は1/b4にしてもa=4, b=1, a/b=4のみしか見つからない。
ていうか、1/b4はとても厳しい制限で、満たすものがありそうな気がしない。
ていうか、1/b4はとても厳しい制限で、満たすものがありそうな気がしない。
定理35.2のLiouvilleの不等式を精密化したThue-Siegel-Rothの定理により、
実は定理35.2のDは2だからだろう。
35.10
(a)
k≥3についてはk=10の時の10進表示をk進表示に置き換えるだけで、
全く同様に証明できる。
k=2についても、定理35.3の証明で10進の代わりに2進展開の式にして、
証明の中で0<β-rN<1/10N!に置き換えるだけで、ほぼ同様に証明できる。
(b)
補題35.3の証明と同様に、rN=Σ1≤n≤ N 1/10nn=aN/bNとすると、bN=10NNで、
0<β2-rN=Σn≥ N +1 1/10nn<2/10(N+1)N+1<2/10NN+1+(N+1)NN<1/(10NN)N+1=1/bNN+1<1/bND (N≥D)
なので、全てのDに対し、N≥DになるNを用いて
rN=aN/bNが|a/b-β2|≤1/bDに対する無数の解を与える。
したがってβ2はLiouvilleの不等式を満たさないから超越数。
35.11
(a)
補題35.3の方法では、|β2-rN|=Σn≥ N +1 1/n!に対する適当なk進表示の不等式を導けない。
(b)
...
(c)
補題35.3と同様にやると、rN=Σ1≤n≤ N 1/1010n=aN/bN、bN=1010N に対し、
|β2-rN|=Σn≥ N +1 1/1010n<2/1010N+1=2/1010·1/1010N<1/1010N<1/bN
となり、bN Dとの関係がよくわからないので超越性は証明できない。
(d)
(c)と同様に、|β2-rN|=Σn≥ N +1 1/1010n<2/1010N+1。
さらに、2/1010N+1=1/1010N·10-log102<1/1010N·9=1/bN9。
つまり0<ε<1, D=9+εとして|β2-rN|≤1/bNDが無数のN∈ℕについて満たされるので、
定理35.2の対偶「Liouvilleの不等式を満たす有理数があるDについて無限個あれば、
αの満たす整数係数多項式の次数d≥D」から、d≥D=9+ε>9となる。
35.12
(a)
(暗黙の前提として整数a,b,r,sはすべて正ととっている模様。
まあそれで一般性は失わないからいいか。)
|a/b-α|=|as-br|/sb<1/sbより1>|as-br|=0。したがってa/b=r/s=αだけである。
(b)
|a/b-α|=|as-br|/sb=1/sbより、|as-br|=1
gcd(r,s)=1だから、xs+yr=1の整数解が無数にあるので、a=x, b=-yととれば良い。
35.13
(a)
√10を根に持つ整数係数多項式はf(x)=x2-10=(x-√10)(x+√10)である。
a,b∈ℤ, b≠0として、|f(a/b)|=|(a/b)2-10|=|a2-10b2|/b2≥1/b2である。
|a/b-√10|の下限を押さえるには、a/bが√10に極めて近い時、
すなわち√10のDiophantus近似について考えれば十分で、
DirichletのDiophantus近似定理（定理31.1）を満たすa/b
を考えればよい。|a/b|≤√10+1/b2≤√10+1だから、
|f(a/b)|=|a/b+√10||a/b-√10|≤(2√10+1) |a/b-√10|<8|a/b-√10|
以上により、1/b2<8|a/b-√10|よって1/8b2<|a/b-√10|
(b)
定理35.2においてd=2なので、|a/b-√10|≤1/b3となるa/bは有限個しかなく、
(a)により1/8b2<1/b3だからb<8。これらを満たすa/bは3/1, 4/1, 19/6だけである。
35.14
(a)
練習問題35.13(a)と同様にして、K=1/⌈2√N+1⌉を得る。ただし⌈⌉は天井関数
（⌈x⌉はx以上の最小の整数。Nは平方数でないので、⌈2√N+1⌉>2√N+1である。）。
K/b2<|a/b-√10|≤1/bα (α>2)なら、b<K1/(2-α)である。
(b)
(i) (a)でN=7, α=3とするとb<7。a/b=2/1, 3/1, 8/3。
(ii) (a)でN=5, α=8/3とするとb<14.7。a/b=2/1, 3/1, 9/4。
(c)
(i) a/b=23/1, 24/1, 383/16
(ii) a/b=4/1, 5/1, 9/2, 13/3, 170/39
(iii) b<[8(2√6+1)]1/0.3~379802。a/b=2/1, 3/1, 5/2, 22/9, 49/20, 485/198。
35.15
(a) 代数的数1/√2。
(b) Gel'fond–Schneiderの定理により超越数。
(c) 代数的数1。
(d) 不明
(e) 不明
(f) 不明
(g) 代数的数(1+√5)/4。
(h) 21/√2で、Gel'fond–Schneiderの定理により超越数。
35.16
(a)
非負整数が整列集合でないと仮定すると、a0> a1> a2>...> an>...>0となる、
非負整数の有界な無限降下列anが存在する。Bolzano–Weierstrassの定理により、
収束部分列bnが存在して、bnはCauchy列となるから、
十分大きな自然数Nに対し0<bN -bN+1<1である。bN とbN+1は非負整数で、
非負整数の差は整数だから、0<b<1となる非負整数bが存在することになるが、
そのような非負整数は存在しないので矛盾。したがって、非負整数は整列集合である。
(b)
an=1/2nとして{an}⊂ℚは最小元を持たない。
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