シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第31章練習問題2

31.3

(a)(b)

γ≈1.618033989である。

r₁=1。|r₁-γ|=0.618033989

r₂=1+1/ r₁=2。|r₂-γ|=0.381966011

r₃=1+1/ r₂=1+1/2=3/2。|r₃-γ|=0.118033989

r₄=1+1/ r₃=1+2/3=5/3。|r₄-γ|=0.048632677

r₅=1+1/ r₄=1+3/5=8/5。|r₅-γ|=0.018033989

r₆=1+1/ r₅=1+5/8=13/8。|r₆-γ|=0.006966011

r₇=1+1/ r₆=1+8/13=21/13。|r₇-γ|=0. 00264937361

r₈=1+1/ r₇=1+13/21=34/21。|r₈-γ|=000101363

r₉=1+1/ r₈=1+21/34=55/34。|r₉-γ|=0.00038693

r₁₀=1+1/ r₉=1+34/55=89/55。|r₁₀-γ|=0.0001478

|r_n-γ|が0に収束していくように見える。

(c)

r₂₀=10946/6765。|r₂₀-γ|=0.9771908552e-8。

r₃₀=1346269/832040。|r₃₀-γ|=0.6459911781e-12。

r₄₀=165580141/102334155。|r₄₀-γ|=0.4270451385e-16。

nが10増えると精度が４桁程度ずつ上がる。

(d)

r_nに極限rが存在すれば、r=1+1/rだから、r=(1+√5)/2=γ。

したがって、(a)(b)の|r_n-γ|がn→∞で0に収束する振る舞いは、

数列r_nに極限γが存在することを示唆する。

(e)

分母は1,1,2,3,5,8,13,21,34,55、分子は1,2,3,5,8,13,21,34,89で、

分母はa₁=1, a₂=1, a_n=a_n-1+a_n-2のFibonacci数列。

分子b_n= a_n+1である。

r_n =a/bとすればr_n+1=(a+b)/a, r_n+2=(2a+b)/(a+b)なので、

確かにr_n+2の分母、分子はそれぞれ、r_n, r_n+1の分母、分子の和である。

31.4

(a)

yのそれぞれに対し、

y=12, x=17, x/y=1.416666667, y|x-y√2|=0.3532470183, y²|x-y√2|= 4.238964219

y=17, x=24, x/y=1.411764706, y|x-y√2|=0.7077195258, y²|x-y√2|= 12.03123194

y=29, x=41, x/y=1.413793103, y|x-y√2|=0.3536059558, y²|x-y√2|= 10.25457272

y=41, x=58, x/y=1.414634146, y|x-y√2|=0.7070016508, y²|x-y√2|= 28.98706768

y=70, x=99, x/y=1.414285714, y|x-y√2|=0.3535443718, y²|x-y√2|= 24.74810603

y=99, x=140, x/y=1.414141414, y|x-y√2|=0.7071248187, y²|x-y√2|= 70.00535705

y=169, x=239, x/y=1.414201183, y|x-y√2|=0.353554938, y²|x-y√2|= 59.75078452

y=239, x=338, x/y=1.414225941, y|x-y√2|=0.7071036864, y²|x-y√2|= 168.9977811

y=408, x=577, x/y=1.414215686, y|x-y√2|=0.3535531251, y²|x-y√2|= 144.249675

y=577, x=816, x/y=1.414211438, y|x-y√2|=0.7071073122, y²|x-y√2|= 408.0009191

y=985, x=1393, x/y=1.414213198, y|x-y√2|=0.3535534361, y²|x-y√2|= 348.2501346

y=1393, x=1970, x/y=1.414213927, y|x-y√2|=0.7071066901, y²|x-y√2|= 984.9996193

y=2378, x=3363, x/y=1.414213625, y|x-y√2|=0.3535533828, y²|x-y√2|= 840.7499442

y=3363, x=4756, x/y=1.4142135, y|x-y√2|=0.7071067968, y²|x-y√2|= 2378.000158

すべてyと同程度で、y²と同程度のものはない。

y|x-y√2|は1/√2≈0.7071067811か、1/(2√2) ≈0.35355339059のように見え、

y|x-y√2|>1/(2√2)と予想される。

(b)

(i) x≥1, y≥1から、

(x²-2y²)²-1=(x²-2y²+1) (x²-2y²-1)≥(2-2y²) (-2y²)=4y²(y²-1) ≥0

により、| x²-2y²|≥1。

(ii) x-y√2≤|x-y√2|<1/ yより、2y√2を辺々足して

x+y√2<2y√2+1/ y。

(i)(ii)より|x-y√2|=| x²-2y²|/(x+y√2)>1/(2y√2+1/ y)。

したがって、y|x-y√2|>1/(2√2+1/y²)~1/(2√2) (y≫1)。