37.14
(a)
p | N(p) |
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 | 3 8 20 16 10 28 36 18 48 14 30 76 40 88 32 108 58 60 136 70 148 78 168 44 196 |
(b)
p=5の場合のみ、p|N(p)？
(c)(d)
「p≠5ならN(p)|p2-1」
「p≡±1 (mod 5)ならN(p)|p-1」
「p≡±2 (mod 5)ならN(p)|2p+2」
証明がRenault (1996)の修士論文(定理3.11~3.13)にある。
37.15
(a)
F32-F12=3=F4
F42-F22=8=F6
F52-F32=21=F8
F62-F42=55=F10
F72-F52=144=F12
F82-F62=377=F14
Fm+n=Fm-1Fn+FmFn+1, とくにF2n=Fn-1Fn+FnFn+1=Fn+12-Fn-12
∵) mを固定してnについての数学的帰納法で証明する。
n=1のときFm+1=Fm-1+Fmなので成り立つ。
n=2のときFm+2=Fm-1+2Fm=Fm+1+Fmなので成り立つ。
n-1以下で成り立つとし、nのときは
Fm+n=Fm+n-1+Fm+n-2=Fm-1(Fn-1+Fn-2)+ Fm(Fn+Fn-1)=Fm-1Fn+FmFn+1
なのでnでも成り立つ。
m=nのときはF2n=Fn-1Fn+FnFn+1=Fn(Fn+1+Fn-1)=(Fn+1-Fn-1)(Fn+1+Fn-1)=Fn+12-Fn-12。
(b)
問題文は誤植で、Fn+13+Fn3-Fn-13が正しい。
F33+F23-F13=8=F6
F43+F33-F23=34=F9
F53+F43-F33=144=F12
F63+F53-F43=610=F15
Fn+13+Fn3-Fn-13=F3n
∵) F3n=Fn+2n=Fn-1F2n+ FnF2n+1=Fn-1(Fn+12-Fn-12)+ Fn(Fn-1Fn+1+FnFn+1+Fn2)
=Fn+1(Fn-1+Fn)2+Fn3-Fn-13=Fn+13+Fn3-Fn-13
(c)
F3F1-F22=1
F4F2-F32=-1
F5F3-F42=1
F6F4-F52=-1
練習問題37.11で証明したCassiniの恒等式Fn+1Fn−1−Fn2=(−1)nである。
(d)
4F3F2+F12=9=F42
4F4F3+F22=25=F52
4F5F4+F32=64=F62
4FnFn-1+Fn-22=Fn+12
∵) 4FnFn-1+Fn-22=4Fn-12+4Fn-1Fn-2+Fn-22=(2Fn-1+Fn-2)2=Fn+12
(e)
F54-4F44-19F34-4F24+F14=-6
F64-4F54-19F44-4F34+F24=-6
F74-4F64-19F54-4F44+F34=-6
F84-4F74-19F64-4F54+F44=-6
Fn+44-4Fn+34-19Fn+24-4Fn+14+Fn4=-6
∵) (a)と(c)の公式を上手く使っていくのだと思うが、
ややこしくてうまくいかん・・・。
0 件のコメント :
コメントを投稿