シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第33章練習問題1

33.3

(a) 11+10i (b) -(5+14i)/17 (c) i

33.4

(a)

95-168i=95-2·2²·3·7i=12²-7²-2·12·7i=(12-7i)²より解はx=±(12-7i)。

(b)

黄金比γ=(√5+1)/2 (γ²+γ-1=0)として、x=±(γ+i)/√γ。

33.5

(a) 割らない。 (b) 割る。商は-1+2i。 (c) 割らない。 (d) 割る。商は6-3i。

33.6

(a) (c+di)/(a+bi)=[(ac+bd)-(-ad+bc)i]/(a²+b²)により、同値であることがわかる。

(b)

α=(c+di)/(a+bi)とすれば、(a+bi)α=(c+di)。

両辺のノルム(a²+b²)N(α)=(c²+d²)より(a²+b²)|(c²+d²)。

33.7

(a)

α=a+bi√2, β=c+di√2とすると、

α±β=(a±c)+(b±d)i√2∈R₁, αβ=(ac-2bd)+(ad+bc)i√2∈R₁なのでR₁は環。

(b)

α=a+bρ, β=c+dρとすると、α±β=(a±c)+(b±d) ρ∈R₂

ρ²=-ρ-1よりαβ=(ac-bd)+(ad+bc-bd)ρ∈R₂なのでR₂は環（Eisenstein整数環）。

(c)

α=a/b, β=c/dとするとp|bdでないから、

α±β=(ad±bc)/bd∈R₃, αβ=ac/bd∈R₃なのでR₃は環。

(d)

α=a+b√3, β=c+d√3とすると、

α±β=(a±c)+(b±d)√3∈R₄, αβ=(ac+3bd)+(ad+bc)√3∈R₄なのでR₄は環。

33.8

(a)

α=a+bi√2, β=c+di√2とすると、p236のノルムについて

N(α)= a²+2b², N(β)= c²+2d²。

1= N(αβ)=N(α)N(β)=a²c²+2(b²c²+a²d²)+4b²d²より

a²c²=1, b²c²+a²d²=0, b²d²=0。3番目よりb=0またはd=0で、

2番目と合わせb=d=0。1番目からa=±1, c=±1なのでαβ=1から

α=1に対しβ=-1, α=-1に対しβ=1のみがαβ=1の解。

したがって単数は1, -1。

(b)

ρ=ωの複素共役はρ²で、ρ²=-ρ-1, ρ³=1。

0=Im(αβ)=ad-b(c-d), α≠0, β≠0から、

abcd=0のときはb=d=0または、a=0かつc=d。

b=d=0ならαβ=ac=1より単数1, -1を得る。

a=0かつc=dならα=bρ, β=c(1+ρ)=-cρ²よりαβ=-bc=1なのでb=±1。

b=1ならc=d=-1より単数ρ, -ρ-1=ρ²を、b=-1ならc=d=1より単数-ρ, - ρ²を得る。

したがって単数1, -1, ρ, -ρ, ρ², -ρ²が得られた。

abcd≠0のときは、Re(αβ)=ac+bd=1、多分なさそうだが・・・

(c)

α=a/b, β=c/dとするとαβ=1=ac/bdよりac=bd。

p|bdでないから、p|acでなく、pは素数なので、p|aでなくかつp|cでない。

すなわち。a/b∈R₃ においてaがpを素因数に持たないなら、

乗法の逆元b/a∈R₃が存在するから、このような元は全て単数。