シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第30章練習問題

30.1

D=A²とすると、x²=1+(Ay)²なので、(1,Ay, x)は規約ピタゴラス数。

定理2.1によりある奇数s,t (s≥t>0)に対しst=1または(s²-t²)/2=1となる。

st=1ならAy=0で、D=A²>0だからy=0。

また(s²-t²)/2=1ならs=2m+1, t=2n+1として

(m-n)(m+n+1)=1/2となるので、そのような自然数m,nは存在しない。

したがって、D=A²≠0なら(x,y)=(1,0)以外の解は存在しない。

30.2

表30.1より最小解は(197,42)で、(197+42√22)^k≳10⁶から、k≳3程度。

(197+42√22)³=30580901+6519870√22より、x=30580901。

30.3

定理29.1の証明でのu+v√2=(3+2√2)( s+t√2)の式を、

u+v√11=(10+3√11)( s+t√11)に変えることで全く同様に証明できる。

30.4

(a)

m番目の三角数をb_m=m(m+1)/2, n番目の五角数をa_n=n(3n-1)/2として、

a₁₂= b₂₀=210。

一般にはa_n=b_mすなわちn(3n-1)/2= m(m+1)/2の解を探すのだが、

両辺に何をかけても、最終的には(6n-1)²-3(2m+1)²=-2の形になるので、

x=6n-1, y=2m+1としてx²-3y²=-2の解を求める問題となる。

x²-3y²=-2はx²≡-2≡1 (mod 3)となるので、x²≡1 (mod 3)。

この最小解は(x,y)=(1,1)で、練習問題32.1(d)により、

x²-3y²=-2の解(1,1)とx²-3y²=1の解(x₁, y₁)を用いて解を

(x₁+y₁√3)(1+√3)から生成できる。

x²-3y²=1の解(x₁, y₁)は最小解(2,1)を用いて(2+√3)^k(k∈ℕ)から

(x₁, y₁) =(2,1), (7,4), (26,15), (97,56), (362, 209)...

(1,1)を用いて解を生成すると、

(x,y)=(5,3), (19,11), (71, 41), (265, 153), (989, 571)...

x=6n-1, y=2m+1なので、x≡5 (mod 6), y≡1 (mod 2)でなければならないが、

このような解は例えば(x,y)=(5,3), (71, 41), (989, 571)。

(x,y)=(5, 3)からは(n,m)=(1, 1)で自明なa₁= b₁=1を得る。

(x,y)=(71, 41)からは(n,m)=(12, 20)で先程のa₁₂= b₂₀=210を得る。

(x,y)= (989, 571)からは(n,m)=(165, 285)でa₁₆₅= b₂₈₅=40755。

(x₁, y₁) =(2,1)はx₁≡2 (mod 6), y₁≡1 (mod 2)を満たし、x₁=6i+2, y₁=2j+1なら

(x₁+y₁√3)(2+√3)=12i+6j+7+(6i+4j+4)√3なので、次の(x₁, y₁)の解は、

x₁≡1 (mod 6), y₁≡0 (mod 2)。さらにその次の解はx₁=6i+1, y₁=2jとして

(x₁+y₁√3)(2+√3)=12i+6j+2+(6i+4j+1)√3なので、再びx₁≡2 (mod 6), y₁≡1 (mod 2)となり、

このような(x₁, y₁)は無数に存在する。

x₁≡2 (mod 6), y₁≡1 (mod 2)なら、x₁=6i+2, y₁=2j+1とおいて、

(x+y√3)=(x₁+y₁√3)(1+√3)=[6i+2+(2j+1)√3](1+√3)=6i+6j+5+(6i+2j+3)√3から

x≡5 (mod 6), y≡1 (mod 2)を満たす。したがって(n,m)も無数に存在するので、

三角数かつ五角数となる数は無数に存在する。

(b)

n番目の五角数をa_n=n(3n-1)/2として、n(3n-1)/2=l²となる数を探す。

整理した3n²-n=2l²の両辺に12をかけて変形すれば

(6n-1)²-6(2l)²=1だから、x=6n-1, y=2lとおいて、

Pell方程式x²-6y²=1の解x,yがx≡5 (mod 6)、y≡0 (mod 2)の条件を満たせば、

a_(x+1)/6=(x+1)(x-1)/24=(y/2)²が五角数かつ平方数となる。

Pell方程式x²-6y²=1の解は5+2√6の冪乗から求められる。

最小解x=5, y=2ではx≡5 (mod 6)、y≡0 (mod 2)。

x=6i+5, y=2jのとき(x+y√6)(5+2√6)=30i+12j+25+(12i+10j+10)√6なので、

次の解は30i+12j+25≡1 (mod 6), 12i+10j+10≡0 (mod 2)で条件を満たさないが、

さらにx=6i+1, y=2jのとき(x+y√6)(5+2√6)=30i+12j+5+(12i+10j+2)√6から、

その次の解は30i+12j+5≡5 (mod 6), 12i+10j+2≡0 (mod 2)となるので、

再び条件を満たす。すなわち5+2√6の奇数乗から求められるx,yが、

定理30.1により五角数かつ平方数となる全ての数a_(x+1)/6を与える。

したがって、五角数かつ平方数となる数は無数に存在する。

(5+2√6)¹から求まるx=5, y=2のときa_(x+1)/6= a₁=1の自明な解。

(5+2√6)³から求まるx=485, y=198のときa_(x+1)/6= a₈₁=9801=99²。

(5+2√6)⁵から求まるx=47525, y=19402のときa_(x+1)/6= a₇₉₂₁= 94109401=9701²。

(c)

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