シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第29章練習問題

29.1

(x,y)= (9,4)から出発して、(x,y)=(161, 72), (2889, 1292), (51841, 23184)が得られる。

29.2

(a)

三角数自身または2つの三角数の和で表される50までの数：

1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 29,

30, 31, 34, 36, 37, 38, 39, 42, 43, 45, 46, 48, 49

2つの三角数の和で表されない50までの数：

5, 8, 14, 17, 19, 20, 23, 26, 32, 33, 35, 40, 41, 44, 47, 50

2つの三角数の和で表される100までの素数：

2, 7, 11, 13, 29, 31, 37, 43, 57, 61, 67, 73, 79, 83, 97

2つの三角数の和で表されない100までの素数：

3, 5, 17, 19, 23, 41, 47, 53, 59, 71, 89

(b)

パターン・・・？

全部でなく一部だけのパターンを見つけろという話なのかな。

(c)

（wikipedia「三個の平方数の和」を参照）

練習問題26.5(b)の(i)を認めれば、

m=8k+3の形の数は3つの平方数の和で表され、

奇数3つの和以外にm≡3 (mod 8)とできる組がないので、

任意のkに対し8k+3=(2x+1)²+(2y+1)²+(2z+1)²なるx,y,zが存在する

これよりk=x(x+1)/2+ y(y+1)/2+ z(z+1)/2となるので、

任意の数は三つの三角数の和で表される。

29.3

(a)

x_k+1+ y_k+1√2=( x_k+ y_k√2)(3+2√2)よりx_k+1=3x_k+4 y_k、y_k+1=2x_k+3 y_kおよび、

m=m(x_k)=(x_k-1)/2,  n=n(y_k)=y_k/2から、

m(x_k+1)=(x_k+1-1)/2=1+3m+4n  (1)

n(y_k+1)=y_k+1/2=1+2m+3n   (2)

(b)

L=n²=(m+1)/2より、n=√L, 2m+1=√(1+8L)

(a)(2)式から、n²(y_k+1)=1+17n²+6n(2m+1)=1+17L+6√(L+8L²)。

29.4

(b)

n番目の五角数をa_nとすると、a₁=1, a₂=5。

k≥2に対してa_k+1=3k+1+ a_kなので、2≤k≤ n-1(n≥3)について和をとると、

Σ_ka_k+1=3Σ_kk+(n-2)+ Σ_ka_kよりΣ_ka_k+1-Σ_ka_k= a_n- a₂= n(3n-1)/2-5。

これよりa_n=n(3n-1)/2 (n≥1)。

(c)

a₁₀=145, a₁₀₀=14950。

五角数についてはさらに練習問題30.4。