シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第11章練習問題2

11.5
(a) x=59+63n (n∈ℕ)。0≤x<7·9=63の範囲ではx=59。
(b) x=125803+3219n (n∈ℕ)。0≤x<37·87=3219の範囲ではx=262。
(c)　
最初の2式を解いてx≡26 (mod 84) (84=7·12)。
x=26+84z≡8 (mod 13)を解いて、 z≡10 (mod 13)により、
x=26+84·10≡866 (mod 1092)  (1092=7·12·13)。


11.6
x≡2 (mod 3), x≡3 (mod 5), x≡2 (mod 7)を解く。
最初の2式を解いて x≡8 (mod 15) (15=3·5)。

x=8+15z≡2 (mod 7)を解いて、 z≡1 (mod 7)により、

x=8+15·1≡23 (mod 105)  (105=3·5·7)。

11.7

x≡1 (mod 2), x≡1 (mod 3), x≡1 (mod 4), x≡1 (mod 5), x≡1 (mod 6), x≡0 (mod 7)を解く。

互いに素な底2,3,5,7をとって、まず

x≡1 (mod 2), x≡1 (mod 3), x≡1 (mod 5), x≡0 (mod 7)を解くと、

x≡91 (mod 210) (210=2·3·5·7)

91≡1 (mod 6)だが、91≢1 (mod 4)。

x≡91 (mod 210), x≡1 (mod 4)を解く。

n,m∈ℤとして、x=91+210n=1+4mより、105n=2m-45。

すなわち105n=-45≡1 (mod2)なのでn=1。したがってx=301 (mod 420=2·210)。