シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第12章練習問題1

12.1

5,2,11,3,351,53,...

12.2

(a)

n,m∈{ℕ,0}とする。p_i≥3として、p_i=(6n+1),(6n+3),(6n+5)のいずれかである。

これらのうち、(6n+3)²≡3 (mod 6), (6n+1)²≡1 (mod 6), (6n+3)(6m+1)≡3 (mod6)だから、 

A≡5 (mod 6)となるためには、Aの因数に(6n+5)の形の数が

少なくとも一つなければならない。あとは定理12.2の証明と同様。

(b)

Dirichletの定理により無数に存在するが、(a)と同様には証明できない。

nを奇素数の積として、(5n+2)²≡4 (mod 5)だから、Aの因数に(5n+4)の形の数がなくても、

A≡4 (mod 5)となりうるからである。

実際、{19}から始めると、次の段階は5·19+4=99=3·3·11で、3も11も(5n+4)の形でない。

12.3

(a)

A₂=1≡1 (mod 2), A₃=3≡0 (mod 3), A₅=25≡0 (mod 5), A₇=49≡0 (mod 7),

A₁₁=11²·61≡0 (mod 11) 

A_p≡0 (mod p) (p≥3)

∵)1·2·...·(i-1)·(i+1)·...·(p-1)の積(p≥3)において、1≡1, p-1≡p-1≡-1 (mod p)。

また、練習問題9.2(Wilsonの定理)の証明での補題2により、S={2,3,...,p-2}は、

積がmod pで1になる2元ずつの組にわけられるので、iと組になる元をi^-1と書くと、

1·2·...·(i-1)·(i+1)·...·(p-1)≡-i^-1 (mod p)である。

{2^-1,3^-1,...,(p-2)^-1}は、Sとは元を書く順序が異なるだけで、Sと同じ集合となるから、

与式を全て通分した分子≡[-1-2^-1-3^-1-...-(p-2)^-1+1]

≡-[1+2+3+...+(p-2)+(p-1)]=-(p-1)p/2≡0 (mod p)。

与式を通分した分母にpは現れないから、A_p≡0 (mod p) (p≥3)。

(b)

A₂=1≡1 (mod 2²), A₃=3≡3 (mod 3²), A₅=25≡0 (mod 5²), A₇=49≡0 (mod 7²), A₁₁=11²·61≡0 (mod 11²) 

A_p≡0 (mod p²) (p≥5)が予想される。

(c)

....