証明をどう教えるか

たいていの中学生は、中2でユークリッド幾何学を教わり始め、
証明問題が嫌いになるか、嫌いとは言わんまでも苦手意識を持つ。
まあそりゃ、「証明を書く」段階では、
それまで整数論の式の計算をつかった説明問題とかやったことはあっても、
ずいぶんと慣れないことをたくさんやらされるわけで、
面食らうのはしょうがないだろう。

が、真に大事なのは証明を書く前の段階、
どうして～と～が等しいとわかるのか、
という段階の論理の組み立ての方なわけで、
この点については、それまでやってきたことと変わらない。
もし変わるのだとしたら、それはそれまでの教え方が
「なぜそうなるか」という観点を強調してこなかっただけだ。

証明を教えるときに、証明をしっかり書く、証明の形式を整える、
という事に力点が行き過ぎると、
生徒は面白くもなんともないだろうし、証明が嫌いになるだろう。
それは論理的思考を学べないという不幸だ。
そりゃ理屈ばっかり言ってる奴は嫌われるが、
ここというときに大切なことを論理的に語れない奴は軽く見られる。
テストや高校入試で必ず出るのだから、
証明の答案の形式を練習しなければならないのは当然だが、
より重要視しなければならないのは、証明を書く前の段階だ。

中学のそれまでの数学の勉強では、「問題」があり、「途中計算」があり、「答え」があった。

いつも自分は、「途中計算」の部分、

つまり「なぜその答えになるのか」の部分が最も大事と教えている。

論理の組み立てを行うことが今までの「途中計算」に当たる部分、

証明の文章は、今までの「答え」の部分がちょっと大きくなっただけ。

こういう説明をすると、生徒は証明を書く段階の前が大事なんだなと、

なんとなく意識してくれるようになる。

「今までと全く違うことをやらされている」感をできるだけ減らす効果もあるようだ。、

中には、問題を読んだら考えもしないうちに、とりあえず形式的に
証明を書き始める生徒もいる。
話の順序をしっかりさせてから書き始めろよと口を酸っぱくして言っている。
なにしろその順序が最も大事なわけで。

そこで論理とは何か、を中学生に最初に教えようと思ったら、
「話の順番のこと」だと教え込んでいる。
1回言っただけではではわからないから、

中2の後半のほとんど、数カ月かけて。
そのためには、証明の形式面については、ある程度おおらかにしないとなぁ。

バランスが難しい。

このあたり、教科書には証明というのは「筋道の立った説明」だと書いてある。
まー正しいし、教科書的にはそんな感じに書かざるを得ないだろうが、
そう言って中学生がわかるのかと言ったらまずわからない。

そりゃそうだ、今までそんなことほとんど考えたことないのが普通だし。

「筋道の立った」＝「話の順序がしっかりしたストーリーになっている」
だと、ほんの少しピンと来る子も出る。
クイズ本やゲームとかで、話の順序をバラバラにした物語を、
正しい順序に直す問題があるが、あれをやるんだよ、と言うと、
もうちょっと興味をもつ子も出てくる。うへえという子もいるがｗ
話の要素を順番に矢印でつないで、最後（結論）までつなげるゲーム、
という図を書いてやると、だいぶイメージしやすいようだ。

ちょっと複雑な証明になると、一部分のつながりの要素
（対頂角とか平行線の錯角とか）はわかっても、
それら全体がどうつながるのかは、すぐにはわからない。
そんな時に、もうちょっとで解けるという希望を持たせながら、
しかも自分でつながりを考え出せるように、どう導くかが、
証明問題に苦手意識を持たせないためのポイントになるのだろう。

そんなことがいつも出来れば理想的だが、
中学レベルの証明問題は自分にはすぐ答えがわかってしまうだけに、
ついつい子供の論理構築可能速度を上回った説明をしてしまうこともままある。
やはり子供の気持ちになってあげることが肝心。
・・・ていうかそういうお題目よりもっと具体的には例えば、

シルヴァーマン

はじめての数論 第3版

自分自身が他の進んだ数学の勉強をして、
証明問題で悩む日常を送る、というのが良い気がしている。

最近代数学の勉強を始め、特にいままであまり馴染みのなかった数論を、
シルヴァーマン「はじめての数論」の、
豊富で自分的には適切なレベルの練習問題を、
時間のある時に解いていっている。
中学の時初めて証明問題に突き当たった時はすぐ通り過ぎてしまった、
まったく慣れない分野の証明のストーリーをどう組み上げればいいか、
一部の要素は見えるのだが全体がよくわからない、という気持ちを、
再体験している。

ポリア
数学の問題の
発見的解き方1

教え子たちもこんな気持でうんうん唸っているんだなぁと思うと、
数論や代数学の勉強以上に、教育の勉強にもなっている。


・・・と思っていたら、最近ポリア「数学の問題の発見的解き方」(1962)という、
数学教師の養成を行っていた人の本が再版されていた。
数学教育に関する古典的名著のようで、
同じく古典的名著とされる同じ著者の「いかにして問題を解くか」は
自分もタイトルは知っている程度に有名。
数学を学習している高校生あたり向けの本なのかなと思ってたが、
数学教育法についての本だったのか。

ポリア
いかにして
問題を解くか

ともかく「数学の問題の発見的解き方」の前書きにある
「教師が通ってきた教育課程では・・・
彼の能力・推論する能力・問題を解く能力・創造的な思考に対しては、
全くと言って良いくらい注意が払われなかった。
・・・この欠陥を補うには、教員の養成課程の中に、
適当なレベルの上で創造的仕事を行う機会を設けるべきだ。」
には、ああやっぱりそうなんだなと感銘を受けた。
解法を創造することを教えるには、
自らが常に解法を創造し続けていなければならない、ということだろう。
うん、その通り。
この本の中にも解き甲斐のある問題が色々あるなあ、面白そう。