シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第13章練習問題

13.1

(a)

F(1)=0, F(x)/x=0

2≤x≤6でF(x)=1, F(x)/x≤1/6

7≤x≤11でF(x)=2, F(x)/x≤2/11

:

102≤x≤106でF(x)=21, F(x)/x≤21/106

:

と続く列はF(x)/x→2/5(x→∞)と期待される。

(b)

S(x)~√(x)だから、S(x) /x~1/√(x)→0(x→∞)と期待される。

13.2

(a)

70=3+67, 72=5+67, 74=7+67, 76=17+61, 78=11+67,

80=13+67, 82=23+59, 84=17+67, 86=19+67, 88=5+83,

90=7+83, 92=3+89, 94=5+89, 96=7+89. 98=19+79, 100=3+97

(b)

70=3+67=11+59=17+53=23+47=29+41

90=7+83=11+79=17+73=19+71=23+67=29+61=31+59=37+53=43+47

98=19+79=31+67=37+61

13.3

n!の積の中に2からnまでのすべての数があるから、

(2≤m≤ n)についてn!+m= m[1·2·…·(m-1)(m+1)…·n+1]となり合成数。

13.4

(c)は(N+1)(N+2)なので常に合成数。他は無数にあってもいいんでないの。

13.5

(a)

xまでのn(∈ℕ) の倍数の数~ x / nなので、xまでの素数の個数は概ね

x(1-1/2)(1-1/3)(1-1/4)…[1-1/(x-1)]~x(1+1/2)^-1(1+1/3)^-1(1+1/4)^-1…[1+1/(x+1)]^-1

~x[1+1/2+1/3+…+1/(x-1)]^-1~x/log x

したがって、xまでの整数をランダムにとると確率1/log xで素数。

(b)

(a)より明らか。

(c)

(b)から、xまでのある整数の近傍に2つの素数がある確率も1/(log x)²だから、

xまでの双子素数の数はx/(log x)²と見積もられる。

13.6

(a)

l’Hospitalの定理からx→∞で与式→1/(1-1/log x)→1

(b)

変数変換log t’=xにより項別積分して

∫^t dt’/log t’=∫^{log t} e^xdx/x=[log x+x+x²/(2·2!) +x³/(3·3!) +x⁴/(4·4!)+…]^{x=log t}

= log (log t)+ log t +(log t)²/(2·2!) +(log t)³/(3·3!) +(log t)⁴/(4·4!)+…

(c)

素直に項別に微分。