小学校算数と包含除

最近は小学生と話す機会も多い。

調べてみると、今の小学校の算数過程では、

• 約数・倍数・公約数・公倍数
• 通分・約分
• 分数の加法・減法・乗法・除法
• 比・比例
• 単位量当たりの大きさ

といった重要な概念は全部6年生に集中してるのね・・・。

高校の教科書を読んだときに見られた、ゆとり教育で中学から後回し後回しにされた結果、

高2～3がとんでもない詰め込みになるという現象は、小学でも起きていたのか。

これは6年で算数嫌いになる子が、一気に増えるだろうなぁ。

そのくせ、重要なことが抜け落ちていることが中学生や高校生と話すと分かってくる
（まあこれはたぶんゆとり教育に限った話ではなく昔からなのだろうけど）。

「1+2はなぜ3？」

「3-2はなぜ1？」

「2×3はなぜ6？」

と聞かれて答えられない小学6年や中学・高校の子はあまりいない。

問題は

「6÷2はなぜ3？」

で、いろいろな学年の子に訊いてみたが、ほぼ間違いなく

「6を2等分すると3だから」

という答えが返ってくる。いわゆる「等分除」だな。

まあ別に間違ってはいないのだが、「それだけ？」と聞くと詰まる。詳しく聞くと、

「6の中に2が3つ入っているから」

というもう一つの答え、つまり「包含除」を考えたことがない様子で、

初めて聞いたという顔をしている。

だからその次に、

「2÷(1/2)はなぜ4？」

と訊くと、答えることが出来ないか、「ひっくり返してかけるルールだから」としか返ってこない。

「2の1/2等分」というよくわからない考え方をしようとがんばる子もいるが、すぐ諦めざるを得なくなる。

「2の中に1/2が4つ入っているから」という考え方をしたことがないわけだ。

さらに

「7÷2はなぜ3あまり1？」

に至っては絶望的になる。「筆算するとなんかそうなるから」くらいが関の山だ。

「7の中には2は3つ入っていて、2を3つ取り去ると1残るから」という、

実は筆算の中にあからさまに書かれている考え方は、完全に発想の外である。

包含除は小3で教えるのだろうが、でもそれはいつの間にか忘れ去られる。

「割り」算という名前が良くないのだろうと思うけれど、

等分除の考え方だけが印象に残り、包含除は記憶の彼方へ去る。

速さ=距離/時間は等分除でなんとか喰らいつけても、

包含除をまともに考えたことが殆ど無いので、時間=距離/速さはアウトである。

比例と単位量当たりの大きさという概念が全く頭に入らない。

結果、いわゆる「は・じ・き」の図に逃げざるを得なくなる。
一度あの図に逃げたらもうおしまいだ。

除法には等分除と包含除の2つの意味があるのは確かだが、

より本質的なのは包含除だと思う。

包含除によって除法が乗法の逆演算であることがすっきり理解できるし、
剰余や比の概念もとても見通しが良い。

等分除は整数等分なら簡単だが、分数等分になると、

整数等分から拡張した説明は不可能ではないがかなり苦しいし、
剰余や比はどう教えたらいいものやら考えもつかない。
等分除は、「6の中に2が3つ入っているので、2人に3つずつ物を配れる」というような、
あくまで包含除から派生した概念と考えるべきだと思う。
かけ算の順序から等分除の別説明ができるのは知っているが、
自分にはどうにも釈然としない。小学校は、まだ非可換代数とかやる段階ではないし。

で、等分除しか知らない子は、中2・中3の式の計算の応用で出る整数論や、

高校の剰余の定理->代数方程式の流れは何をやっているのかわからないし、

中1の比例->中2の一次関数の変化の割合->高2の微分も全くあやふやで、

中学数学全体を貫く比の考えも身につかず、

速度・濃度・割合といった、比と単位量当たりの大きさの概念を使った文章題に至っては
手もつけられないというかわいそうな状態に陥り、数学が大嫌いになるのだろうな。

包含除でも考えるという訓練を、小5～6くらいのどこかの段階で教わっていれば、

違ったかもしれないのにと思う。

まあ小3や小4では、包含除と等分除の区別まで考える能力は子どもにないと思う。

小3で包含除でやってきた自分も、小4で等分除に出くわしたときは、

全く理解できずに悩んでえらく悔しかったのを、はっきり覚えている。

んで、「なんか知らんが等分も割り算らしい」と、とりあえず保留にした。

等分除はえらく飲み込みにくくて、その後何年間も、
等分の計算をやるたびに釈然としない思いを抱えていた。

この頃算盤をやっていて、包含除のプロセスが、
算盤の珠の動きでビジュアルに見えていたので、

包含除の考えの正しさに確信を持っていたせいか何かで、

包含除を忘れずにいることが出来たんじゃないかと思う。

そうやって包含除にしがみついていたことが、小6～中1の比例や速さのところでモノを言った。

等分除を算数で多用するようになった小4くらいの段階で、

たぶん等分除で押す子が続出して、包含除は忘れ去られてしまうんじゃないかなぁ。

まあこの学年では、「割り算には2つの意味があるんだよ」くらいで、

あとは筆算を、内容は理解してないながらも出来るようになる練習くらいまでで精一杯だろう。

そうやって筆算に慣れて、経験を積んで高い見地から除法が見えるようになった

小5か小6のとき、例えば比をやるときに、包含除をもう一度徹底的に思い出させて欲しいものだ。

ここが中学以降の数学が理解できるようになるかどうかの

ラストチャンスといっても過言ではないと思う。