シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第14章練習問題

14.2

F_k-2=2^2k-1=(2^2k-1-1) (2^2k-1+1)= (2^2k-2-1) (2^2k-2+1) (2^2k-1+1)

=…=(2-1)(2+1)(2²+1)…(2^2l+1)…(2^2k-1+1)

なので、F_m| F_k-2である。

F_m,F_kは奇数なので、2は因数ではない。

ところがF_m,F_kに共通因数q≠1があれば、q|2よりq=2となり矛盾。

したがってF_m,F_kに共通因数はない。

14.3

(a)

(3⁷-1)/2=1093

(b)

n=2m (m∈ℕ)として、3 ^m は奇数なので、3 ^m ≡1 or 3 (mod4)。

このとき3^{2 m} -1≡0 (mod 8)。したがって4|(3^{2 m} -1)/2。

(c)

n=5m (m∈ℕ)として、3ⁿ-1=(3 ^m -1)( 3^{4 m} +3^{3 m} +3^{2 m} +3 ^m +1)と常に因数分解できる。

(3 ^m -1)は偶数だから、(3 ^m -1)/2は整数となり、したがって(3ⁿ-1)/2は合成数。

(d)

無数にあってもいいんでないの。