コックス「ガロワ理論」 5.1節の演習問題1

演習問題1

x³-2の根は∛2, ∛2ω, ∛2ω²であるから、分解体はℚ(∛2,∛2ω,∛2ω²)。

ここでω=∛2ω/∛2∈ℚ(∛2,∛2ω,∛2ω²)だから、ℚ(∛2,ω)⊂ℚ(∛2,∛2ω,∛2ω²)。

また∛2ω∈ℚ(∛2,ω)、∛2ω²∈ℚ(∛2,ω)なので、補題4.1.9により

ℚ(∛2,∛2ω,∛2ω²)⊂ℚ(∛2,ω)。

したがってℚ(∛2,ω)=ℚ(∛2,∛2ω,∛2ω²)だから、ℚ(∛2,ω)はx³-2の分解体。

演習問題2

FがF上のfの分解体なら、定義5.1.1によりfはF上完全分解する。

逆にfがF上完全分解するとする。

fの根α₁,..,α_deg(f)∈Fをとれば、補題4.1.9からF(α₁,..,α_deg(f))⊂Fとなる。

明らかにF⊂F(α₁,..,α_deg(f))だからF=F(α₁,..,α_deg(f))。

したがって、定義5.1.1でL=Fの場合となり、FはF上のfの分解体。

演習問題3

F⊂L は素数次数2をもつから、

F上の二次最小多項式fの根αをとると、

4.3節演習問題4によりL=F(α)である。

fのもうひとつの根をβとすると、

二次方程式についての系2.1.5からβ=-α-b∈F(α)だから、

F(α)はFとα,βを含むので、補題4.1.9によりF(α,β)⊂F(α)。

明らかにF(α)⊂F(α,β)だからF(α)=F(α,β)=Lなので、

LはfのF上の分解体である。

演習問題4

x⁶-1=(x-1)(x+1)(x²-x+1)(x²+x+1)

なので、根は1,-1,ω,ω²,-ω,-ω²である。

これらは全てℚ(ω)の元だから、ℚ(1,-1,ω,ω²,-ω,-ω²)=ℚ(ω)

したがって分解体はℚ(ω)。

演習問題5

1/(√2+√3)=√3-√2

なので、例4.1.2に挙げられたfの根√2+√3, -√2-√3, √3-√2, -√3+√2は

全てℚ(√2+√3)の元。

したがって、L=ℚ(√2+√3)=ℚ(√2+√3, -√2-√3, √3-√2, -√3+√2)だから、

Lはfのℚ上の分解体

演習問題6

(a)

4.3節演習問題2(b)で示した。

(b)

fの根は±α, ±√(2-√2)。

α²-2=√2, √(2-√2)=(α²-2)/α∈ℚ(α)より、ℚ(±α, ±√(2-√2))=ℚ(α)だから、

ℚ(α)はfの分解体。

演習問題7

(a)

x=0,1,2のいずれもfの根でないので、補題A.1.19によりfはF₃上既約。

(b)

fの一つの根をα∈Lとすると、α+1, 2α+1∈Lも根となり、

Lにおいてfは(x-α)(x-α-1)(x-2α-1)と完全分解される。

α+1, 2α+1∈F₃(α)だからL=F₃(α)なので(a)により[L:F₃]=3。

(c)

F₃(α)のベクトル空間としての基底は1,α,α²で、

それらの係数が0,1,2の3つだから、F₃(α)の元の可能な組合せは3³=27。