コックス「ガロワ理論」 7.2節の演習問題1

演習問題1

(a)

6.2節演習問題2（または例7.2.5）によりGal(ℚ(ω,∛2)/ℚ)は、

{∛2, ∛2ω, ∛2ω²}の元を入れ替えるσ∈Gal(L/F) (o(σ)=3)と、

{ω,ω²}の元を入れ替えるτ∈Gal(L/F) (o(τ)=2)との合成によって生成され、

Gal(L/F)={e,σ,τ,σ²,στ,σ²τ}≃D₆。あるいはα₁=∛2, α₂=∛2ω, α₃=∛2ω²として、

同型Gal(L/F)≃S₃について、σ=(123), τ=(23)とすればσ²=(132), στ=(13), σ²τ=(12)。

Gal(L/F)の元はℚ 上恒等なℚ(ω,∛2)上の自己同型だから、

σℚ(∛2)=ℚ(σ(∛2))=ℚ(∛2ω), 同様にτℚ(∛2)=ℚ(∛2), σ²ℚ(∛2)=ℚ(∛2ω²),

στℚ(∛2)=ℚ(∛2ω), σ²τℚ(∛2)=ℚ(∛2ω²)となるので、

ℚ(∛2)の共軛体はℚ(∛2),ℚ(∛2ω),ℚ(∛2ω²)。

(b)

ℚ(ω)=ℚ(ω²)なので、(a)と同様にすれば

σℚ(ω)=σℚ(∛2ω/∛2)=ℚ(σ(∛2ω)/σ(∛2))=ℚ(∛2ω²/∛2ω)=ℚ(ω),

τℚ(ω)=ℚ(ω²)=ℚ(ω), σ²ℚ(ω)=ℚ(1/ω)=ℚ(ω), στℚ(ω)=ℚ(ω), σ²τℚ(ω)=ℚ(ω)

となるので、ℚ(ω)はその共軛体と一致する。

演習問題2

任意のβ∈σKに対し、あるα∈Kが存在してβ=σ(α), α=σ^-1(β)。

また任意のγ∈Gal(L/σK) はσK上恒等なLの自己同型なので、β=γ(β)。

γ∈Gal(L/σK) はσK上恒等だから、補題7.2.2によりF⊂σK上恒等なのでγ∈Gal(L/F)。

Gal(L/F)とLにおいて、α=σ^-1(β)=σ^-1γ(β)=σ^-1γσ(α)なので、

τ=σ^-1γσ∈Gal(L/F)とおけばτはK上恒等だから、τ=σ^-1γσ∈Gal(L/K)となり、

したがってγ=στσ^-1∈σGal(L/K)σ^-1。故にGal(L/σK)⊂σGal(L/K)σ^-1。

補題7.2.4の証明でGal(L/σK)⊃σGal(L/K)σ^-1は証明されたから、

Gal(L/σK)=σGal(L/K)σ^-1である。

演習問題3

σ∈Gal(L/K₂)とすると、σは K₂上恒等なLの自己同型だが、

K₁⊂K₂だから、σは K₁上恒等なLの自己同型になるのでσ∈Gal(L/K₁)。

したがってGal(L/K₂)⊂Gal(L/K₁)。

演習問題4

ℚ⊂LはGalois拡大なので、命題7.1.3によりℚ(∛2)⊂LもGalois拡大で、

Lでℚ(∛2)上のωの分離既約多項式x²+x+1 は完全分解するから、

[L:ℚ(∛2)]=2。したがって定理7.1.5(c)により|Gal(L/ℚ(∛2))|=2。

演習問題3によりGal(L/ℚ(∛2))はGal(L/ℚ)≃S₃の部分群で、

さらに定理7.1.1(b)によりℚ(∛2)はGal(L/ℚ(∛2))の固定体となる。

このような位数2の群は<τ>→(23)のみであるから、

Gal(L/ℚ(∛2))=<τ>。

ℚ(∛2ω)⊂L, ℚ(∛2ω²)⊂LもGalois拡大で、同様に議論できるので、

Gal(L/ℚ(∛2ω))=<σ²τ>→(13), Gal(L/ℚ(∛2ω²))=<στ>→(12)。

L⊂LはL上恒等だからGal(L/L)={e}。

またℚ⊂Lはℚ上恒等な自己同型だから、Gal(L/ℚ)≃S₃そのものである。

演習問題5

写像σ→σ|_Kは明らかに積・単位元・逆元を保つから群準同型なので、

(7.9)式が従う。

演習問題6

|Gal(L/ℚ)|=6だから、自明でないGal(L/ℚ)の部分群は、

位数2または3を持たなければならない。

位数2の有限群は2次巡回群C₂に同型なものしかないので、

位数2の元1つだけから生成される。

このような群は<τ>,<σ²τ>,<στ>だけである。

また、位数3の有限群は3次巡回群C₃に同型なものしかないので、

位数3の元1つだけから生成される。

このような群は<σ>=<σ²>だけである。

したがって、図式(7.7)の群がGal(L/ℚ)の全ての部分群である。