コックス「ガロワ理論」 5.3節の演習問題2

演習問題7

(a)

fがF上既約でf'が恒等的に0でなければdeg(f')<deg(f)だから、

補題5.3.5の証明と同様の議論によりgcd(f,f')=1

したがって命題5.3.2によりfは分離的。

(b)

f=∑_i a_ixⁱ (0≤i≤deg(f))とすると、f'=∑_i ia_ix^i-1=0がF上で常に成り立つから、

すべてのiについてia_i≣0 (mod p)である。

これよりi≢0 (mod p) に対しa_i=0だから、deg(f)≣0 (mod p) すなわちp|deg(f)。

かつf=∑_{0≤j≤deg(f)/p} a_pjx^pj=∑_j a_pj(x^p)^jとなるから、g₁=∑_j a_pjx^jとすればf=g₁(x^p)。

(c)

g₁がF上可約でg₁=h₂h₃とF上で因数分解できたとすると、(b)により

f=h₂(x^p)h₃(x^p)となりfもF上可約。これはfの既約性に反するから、

g₁はF上既約。

(d)

deg(f)=mp^e, gcd(m,p)=1とすると、e=0のときは(a)によりfは分離的だから、

g=fとすればよい。

e>0のときは(b)の操作をe回繰り返して得られる既約多項式をg_eとすれば、

deg(g_e)=m, p∤deg(g_e)となる。補題5.3.5によりg_eは分離的となるから、

g=g_eとすれば、f=g(x^pe)で命題5.3.16が結論される。

演習問題8

(a)

F=k(t,u)=k(u)(t)とみて、Fをk(u)係数のtの有理関数体と見れば、

4.2節演習問題9によりk(t,u)上x²-tは根を持たないので、

命題4.2.6によりk(t,u)上x²-tは既約。

gcd(x²-t ,(x²-t)')=gcd(x²-t ,2x)=1だから、命題5.3.2によりx²-tはF上分離的。

(b)

(a)と同様にk(t,u)上x³-uは既約。(x³-u)')=3x=0だから、

gcd(x³-u ,(x³-u)')=gcd(x³-u ,0)=x³-u≠1となり、

命題5.3.2によりx³-uはF上分離的でない。

演習問題9

(a)

F(α)において、α^p=aより補題5.3.10からf=x^p-α^p=(x-α)^pなので、

fはF(α)において完全分解し、根はαのみである。

したがってF(α)はfの分解体で、fはF上既約だから、

命題4.1.5・命題4.3.4により[F(α):F]=p。

(b)

F(α)をF上のベクトル空間と見れば、

(a)と命題4.3.4により基底は1, α,..., α^p-1で、任意のβ∈F(α)∖Fは

β=b₀+b₁α+...+b_p-1α^p-1(b₀,...,b_p-1∈F)と一意的に表される。

β∈F(α)∖Fなので b₁,...,b_p-1の少なくともひとつは0でない。

補題5.3.10を繰り返し用い、α^p=a∈Fから

β^p=b₀^p+b₁^pα^p+...+b_p-1^pα^(p-1)p=b₀^p+b₁^pa+...+b_p-1^pa^(p-1) ∈F

(c)

x^p-β^pの根c∈Fが存在したとすると、

aはg=-c+b₀^p+b₁^px+...+b_p-1^px^(p-1) ∈F[x]の根。

(b)によりb₁,...,b_p-1の少なくともひとつは0でないからdeg(g)≤p-1なので、

aは高々p-1次のF[x]の多項式の根となるから、

命題4.1.5によりaの最小多項式p∈F[x]の次数も高々p-1次となる。

命題4.1.3によりp|fとなるから、(a)で証明したfの既約性に反する。

したがってx^p-β^pの根c∈Fは存在しないので、命題4.2.6によりx^p-β^pはF上既約。

(d)

補題5.3.10より分解体F(α)において、x^p-β^p=(x-α)^pと完全分解し、

したがってすべてのβ∈F(α)∖Fは分離的でないから、F⊂F(α)は純非分離である。

演習問題10

(a)

全てのα∈Lの最小多項式がx^pe-aの形なら、演習問題9と同様にして、

F⊂Lは純非分離である。

逆にF⊂Lは有限次純非分離拡大とする。

α∈LのF上の最小多項式f∈F[x]は命題4.1.5によりF上既約なので、

命題5.3.16と演習問題7(d)により、deg(f)=mp^e, gcd(m,p)=1とすると、

deg(g)=mなるF上の分離既約単多項式g∈F[x]が存在してf=g(x^pe)。

F⊂Lは純非分離拡大なのでfの分解体を含むから

（「非分離的」の意味を本の中でちゃんと定義してないが、そうだと思う・・・）、

f∈F[x]はL上完全分解し、相異なるα₁,...,α_m∈Lが存在して

f=(x^pe-α₁^pe)...(x^pe-α_m^pe)=(x-α₁)^pe...(x-α_m)^pe (1)。

ただしFの標数がpであることから補題5.3.10を用いた。

αはfの根だから、あるiに対しα_i=αである。

gはα^pe∈Lを根に持つから、命題5.2.1によりgもL上完全分解し、

(1)とf=g(x^pe)よりL上でg=(x-α₁^pe)...(x-α_m^pe) （あるiに対しα_i=α）。

ところがF⊂Lは純非分離拡大で、かつα₁,...,α_m∈Lは相異なるから、

m=1でなければならない。したがってg=x-α^peだからf=g(x^pe)=x^pe-α^pe。

a=α^peとおいてf=x^pe-a。

(b)

(a)により全てのα∈Lの最小多項式はx^pe-aの形だから、

命題4.3.4により[L:F]=p^e。