コックス「ガロワ理論」 7.2節の演習問題2

演習問題7

F⊂LはGaloisだから定義により有限次拡大で、命題7.1.3によりK⊂LはGalois、

また補題7.2.2と命題7.1.3によりσK⊂LはGalois。

すると補題7.1.5によりGal(L/σK)=σGal(L/K)σ^-1である。

K=σKならGal(L/K)=Gal(L/σK)=σGal(L/K)σ^-1。

逆にGal(L/K)=σGal(L/K)σ^-1とするとGal(L/K)=Gal(L/σK)。

定理7.2.5によりGal(L/σK)⊂Gal(L/F), Gal(L/K)⊂Gal(L/F)なので、

Gal(L/F)の部分群の固定体について定理7.1.1(b)により、

K=L_Gal(L/K)= L_Gal(L/σK)=σK。

演習問題8

(a)

H はGの部分群なのでh,h₁∈Hならh₁hh₁^-1∈H だからH⊂N_G(H) だからe∈N_G(H)。

g∈N_G(H)なら、h∈H に対しh₁∈H が存在してh=gh₁g^-1∈Hより、

h₁=g^-1hg=g^-1h(g^-1)^-1∈Hだから、g^-1∈N_G(H)。

g₁,g₂∈N_G(H)ならg₁g₂h(g₁g₂)^-1=g₁(g₂hg₂^-1)g₁^-1∈N_G(H)だから、g₁g₂∈N_G(H)。

したがってN_G(H)はHを含むGの部分群。

(b)

定義によりすべてのg∈N_G(H)に対しgHg^-1=Hだから、

HはN_G(H)の正規部分群。

(c)

n∈Nを任意にとると、HはNの正規部分群なので、

全てのh∈H に対しnhn^-1∈Hだから、N⊂N_G(H)。

したがって、Hを正規部分群に持つGの部分群は、

全てN_G(H)の部分群となるから、N_G(H)がそのような部分群で最大のものである。

(d)

HがGの正規部分群なら、全てのg∈Gに対しghg^-1∈Hだから

G⊂N_G(H)⊂GによりN_G(H)=G。

逆にN_G(H)=Gなら、N_G(H)の定義によりHはGの正規部分群となる。

演習問題9

(a)

X={σ₁K,...,σ_rK },σ∈Gal(L/F)とし、写像Gal(L/F)×X→2^Lを、

σ·(σ_iK)=(σσ_i)K (1≤i≤r)で定義し、これをσσ_iKと書くことにすると、

e·(σ_iK)=eσ_iK=σ_iK, またg₁,g₂∈Gal(L/F)について

g₁·(g₂·(σ_iK))= g₁·(g₂σ_iK)=((g₁g₂)σ_i)K)=(g₁g₂)σ_iKとなる。

σ·(σ_iK)=σσ_iKでσσ_i∈Gal(L/F)だから、σσ_iKはKの共軛体で、

仮定によりKの相異なる共軛体はσ₁K,...,σ_rKで尽くされているから、

あるj (1≤j≤r)が存在してσσ_iK=σ_jK∈Xとなる。

したがって上の写像の像はXである。

以上によりこの写像は定義A.4.1を満たすから、Gal(L/F)のXへの作用である。

(b)

（問題文の「Nの正規化群」は「N」、

もしくは同じことだが「Gal(L/K) の正規化群」の誤植）

Kの固定部分群Gal(L/F)_K={σ∈Gal(L/F)|K=σK}の元σについて、

演習問題7によりGal(L/F)においてGal(L/K)=σGal(L/K)σ^-1が成り立つから、

σ∈N_Gal(L/F)(Gal(L/K))=Nとなるので、 Gal(L/F)_K⊂N。

逆にσ∈N_Gal(L/F)(Gal(L/K))なら定義により

Gal(L/F)においてGal(L/K)=σGal(L/K)σ^-1だから、演習問題7により、

K=σKとなり、σ∈Gal(L/F)_K。故にGal(L/F)_K⊃N。

以上によりGal(L/F)_K=N。

(c)

定理A.4.9により[Gal(L/F):N]=|Gal(L/F)·K|。

σ∈Gal(L/F)として、作用Gal(L/F)·KによってKは共軛体σK∈Xへ移るが、

仮定によりこのような共軛体はσ₁K,...,σ_rKで尽くされているから、

|Gal(L/F)·K|=|X|=r。したがって[Gal(L/F):N]=r。

演習問題10

ℚ(ω,∛2)の任意の元αは、f∈ℚ(x₁,x₂)を用いてα=f(ω,∛2)と表され、

τは自己同型だからτ(α)=f(τ(ω), τ(∛2))=f(ω²,∛2)。

ω²=ωだから、τは複素共役を取る写像のℚ(ω,∛2)への制限とみなせる。

演習問題11

(a)

6.2節演習問題1で示した。Gal(L/ℚ)≃D₄である。

(b)(c)(d)

Gal(L/ℚ)の全ての部分群は{e},<σ>,<τ>,<στ>, Gal(L/ℚ)で、

σとτは可換なのでD₄はAbel群だから、Gal(L/ℚ)の部分群は全て正規部分群。

故に定理7.2.5によりLの部分体はその共軛体と等しい。

ℚ(√2)⊂Lは命題7.1.3によりGaloisで、

ℚ(√2)がx²-3の根を入れ替える群<σ>の固定体。

同様にℚ(√3)がx²-2の根を入れ替える群<τ>の固定体、

ℚ(√6)がx²-2とx²-3の根を同時に入れ替える群<στ>の固定体、

ℚはGal(L/ℚ)の固定体で、Lは{e}の固定体である。

以上により、部分群の図式は

で、対応する部分体の図式は

最初部分体をℚ(√2)とℚ(√3)しか思いつかなかったが、

<στ>に気付き、ℚ(√6)が見つけられた。

これが見つかっちゃうのがGalois対応の威力か。ちょっと感動。