コックス「ガロワ理論」 6.4節の演習問題2

演習問題8

(a)

(h₁,g₁), (h₂,g₂), (h₃,g₃)∈H⋊Gとする。G,Hの単位元をe_G,e_Hとすると、

h₁→g₁·h₁は群準同型だからg₁·e_H= e_H。

これより(h₁,g₁)·(e_H,e_G)=(h₁,g₁)で、(e_H,e_G)は単位元となる。

明らかにこの単位元は一意。

(h₁,g₁)·(h₂,g₂)=(e_H,e_G)なら、h₁(g₁·h₂)=e_H, g₂=g₁^-1で、

この第1式からはg₁·h₂=h₁^-1。g₁·h₂は作用だから両辺にg₁^-1を作用させれば、

定義A.4.1によりg₁^-1·h₁^-1=g₁^-1(g₁·h₂)=(g₁^-1g₁)·h₂=h₂

なので、(g₁^-1·h₁^-1,g₁^-1)は(h₁,g₁)の右逆元。

(h₂,g₂)·(h₁,g₁)=(e_H,e_G)なら、h₂(g₂·h₁)=e_H, g₂= g₁^-1で、

この第1式からはh₂=(g₁^-1·h₁) ^-1=g₁^-1·h₁^-1

となるので、左逆元は右逆元に等しい。

以上により(h₁,g₁)に対し逆元(g₁^-1·h₁^-1,g₁^-1)が一意に定まる。

(h₁,g₁)·((h₂,g₂)·(h₃,g₃))=(h₁,g₁)·(h₂(g₂·h₃),g₂g₃)=(h₁{g₁·[h₂(g₂·h₃)]}, g₁g₂g₃)

=(h₁(g₁·h₂)(g₁g₂·h₃),g₁g₂g₃)

((h₁,g₁)·(h₂,g₂))·(h₃,g₃)=(h₁(g₁·h₂),g₁g₂)·(h₃,g₃)=(h₁(g₁·h₂)(g₁g₂·h₃),g₁g₂g₃)

となるので、(h₁,g₁)·((h₂,g₂)·(h₃,g₃))=((h₁,g₁)·(h₂,g₂))·(h₃,g₃)

と結合律を満たす。

以上によりH⋊Gは(6.9)の演算に関して群。

(b)

φ: H⋊G→G ((h,g)→g)は明らかに全射群準同型だからIm(φ)=G。

φ(h,g)=e_Gなら、g=e_Gなので、Ker(φ)=H×{e_G}。

(c)

ψ: H→H×{e_G} (h→(h,e_G))は明らかに全射。

またψ(h)=(h,e_G)=(e_H,e_G)なら、h=e_HだからKer(ψ)={e_H}なのでψは1対1。

g∈G, h∈Hとしてg·(e_G·h)= g·hだから両辺にg₁^-1を作用させれば、

e_G·h=hなので、h₁,h₂∈Hとして

ψ(h₁h₂)=(h₁h₂,e_G)=(h₁(e_G·h₂),e_G)=ψ(h₁)ψ(h₂)だから、ψは群準同型。

したがってψは群同型だからH≃H×{e_G}。

(b)(c)と定理A.1.3（群準同型の基本定理）により、

(H⋊G)/(H×{e_G})≃(H⋊G)/H≃Im(φ)=G。

演習問題9

演習問題2(a)によりφ: AGL(1,F_p)→F_p^* (γ_a,b→a)について

Ker(φ)=Tで、演習問題2(b)と演習問題9(b)によりT≃F_p≃F_p×{1}だから、

(6.10)はF_p^*≃(F_p⋊F_p^*)/(F_p×{1})≃(F_p⋊F_p^*)/T。

演習問題10

(a)

F_p は加法群として、F_p^*は乗法群としてAbel群である。

(h₁,g₁), (h₂,g₂)∈F_p⋊F_p^*とすると、

(h₁,g₁)·(h₂,g₂)=(h₁(g₁·h₂),g₁g₂)

(h₂,g₂)·(h₁,g₁)=(h₂(g₂·h₁),g₁g₂)である。

p≥3よりg₁,g₂∈F_p^*の少なくとも一つは1でない値をとることができるので、

一般に(h₁,g₁)·(h₂,g₂)≠(h₂,g₂)·(h₁,g₁)となりAbel群でない。

(b)

(h₁,g₁), (h₂,g₂)∈F_p×F_p^*とすると、

(h₁,g₁)(h₂,g₂)=(h₁h₂,g₁g₂)=(h₂,g₂)(h₁,g₁)なのでAbel群。

(c)

F_p×{1}={(h,1)|h∈F_p}とすると、F_p×{1}はF_p×F_p^*の部分群で、

F_p×F_p^*は(b)によりAbel群だから、F_p×{1}はF_p×F_p^*の正規部分群。

写像φ: F_p×{1}→F_p ((h,1)→h)は明らかに1対1の全射で、

積を保つから準同型。故にφは同型なのでF_p×{1}≃F_p。

(F_p×F_p^*)/(F_p×{1})≃(F_p×F_p^*)/F_p≃F_p^*なので、

F_p×F_p^*はF_pのF_p^*による拡大である。

演習問題11

TはG≃AGL(1,F_p)の部分群で、Abel群だからGの正規部分群。

演習問題2(b)によりT≃F_pだから、

加法群として位数pの巡回群である。

演習問題2によりG/T≃F_p^*で、命題A.5.3よりF_p^*は巡回群となる。

したがって、Gはメタ巡回的である。

演習問題12

演習問題6(a)と同様である：

o(g)=pとなるg∈S_pについて、p224の対称群の性質から、

互いに共通の文字を持たない巡回置換c₁,...,c_rを用いて

g=c₁...c_r, o(g)=LCM(o(c₁),...,o(c_r))だが、pは素数なので、

g=c₁, o(c₁)=pしかありえない。

演習問題13

Schönemann-Eisenstein判定法（定理4.2.3）においてp=5とおくことにより、

2x⁵-10x+5はℚ上既約で命題5.3.7により分離的。

したがってGal(L/ℚ)はすべての根の集合に対し可移だから、

6.3節演習問題7により|Gal(L/ℚ)|は素数5の倍数となる。

定理A.1.5によりo(σ)=5となるσ∈Gal(L/ℚ)が存在するので、

演習問題12によりσは5次巡回置換。

下のグラフにより、2x⁵-10x+5は異なる実根を3つ、

共軛な複素数根を2つもつので、

複素数根同士の互換をτとしてτ∈Gal(L/ℚ)。

したがって演習問題7によりGal(L/ℚ)≃S₅。

演習問題14

^p√2ζ_p/ ^p√2=ζ_p∈ℚ(^p√2, ^p√2ζ_p)によりL⊂ℚ(^p√2, ^p√2ζ_p)、

^p√2ζ_p∈Lによりℚ(^p√2, ^p√2ζ_p)⊂Lなので、

L =ℚ(^p√2, ^p√2ζ_p)。他の根は^p√2ζ_pⁱ=(^p√2ζ_p)ⁱ/(^p√2)^i-1(2≤i≤p-1)で生成される。

演習問題15

[L:ℚ]=p(p-1)で、ζ_pは命題4.2.5によりℚ上既約なp次円分多項式Φ_pの根だから、

[ℚ(ζ_p):ℚ]=p-1。したがって定理4.3.8（塔定理）により[L:ℚ(ζ_p)]=p。

演習問題14によりL=ℚ(^p√2, ^p√2ζ_p)=ℚ(ζ_p, ^p√2)は、

分離多項式x^p-2∈ℚ(ζ_p)[x]の分解体だから、|Gal(L/ℚ(ζ_p))|=[L:ℚ(ζ_p)]=p。

Gal(L/ℚ(ζ_p))は素数位数だから、単位元でない元gが存在して、

位数o(g)の巡回群<g>を部分群に持つ。

定理A.1.1（Lagrangeの定理）により|<g>|=o(g)は|Gal(L/ℚ(ζ_p))|を割り、

o(g)≠1だから|<g>|=pとなるので、Gal(L/ℚ(ζ_p))=<g>≃C_p。

C_p⊂S_pはp個の根をすべて巡回的に入れ替える置換の群だから、可移である。

以上によりx^p-2∈ℚ(ζ_p)[x]の分解体Lについて、

Gal(L/ℚ(ζ_p))と同型なS_pの部分群C_pが可移となるので、

命題6.3.7によりx^p-2はℚ(ζ_p)上既約である。