コックス「ガロワ理論」 6.5節の演習問題

演習問題1

L=F(α)ならp85の定義により、任意のα_i∈Lに対し、

有理関数a_i∈F(x)が存在して、α_i=a_i(α)だから、a_i=θ_iとおけばよい。

逆にα_i=θ_i(α)となるθ_iが存在したとすると、

fの分解体L=F(α₁,α₂,...,α_n)において任意のα_i∈Lに対し、

α_i∈F(α)だから、L⊂F(α)。F(α)⊂LなのでL=F(α)。

α₁=α,α₂,...,α_nはF上代数的だから、命題4.1.5によりF(α)=F[α]なので、

θ_iは多項式としてよい（具体的な計算は面倒になるだろうが）。

演習問題2

θ₁(x)=xについては明らかにθ₁(θ_i(x))=θ_i(θ₁(x)) (1≤i≤4)。

あとは直接計算により

θ₂(θ₃(x))=θ₃(θ₂(x))=-10x+x³(=θ₄(x)),

θ₂(θ₄(x))=θ₄(θ₂(x))=10x-x³(=θ₃(x)),

θ₃(θ₄(x))=θ₄(θ₃(x))=-(10x-x³)[10-(10x-x³)²]

となるからAbel方程式。

演習問題3

(i) αがfの根なら命題6.1.4により任意のσ,τ∈Gal(L/F)に対し

σ(α),τ(α)もfの根だから、あるi,j (1≤i,j≤n)が存在して

σ(α)=α_i=θ_i(α), τ(α)=α_j=θ_j(α)。

σ,τ∈は自己同型だから、1≤k≤nとして

σ(α_k)=σ(θ_k(α))=θ_k(σ(α))=θ_k(θ_i(α)), τ(α_k)=τ(θ_k(α))=θ_k(τ(α))=θ_k(θ_j(α))である。

(ii)もしGal(L/F)がAbel群なら、任意のσ,τ∈Gal(L/F)に対し、Lにおいて

σ(τ(α))=στ(α)=τσ(α)=τ(σ(α))。

また任意のσ,τ∈Gal(L/F)に対しLにおいてσ(τ(α))=τ(σ(α))なら、

στ(α)=σ(τ(α))=τ(σ(α))=τσ(α)だから定義によりGal(L/F)はAbel群。

(iii) (i)により στ(α)=σ(τ(α))=σ(α_j)=θ_j(θ_i(α))で、fはAbel方程式だから、

στ(α)=θ_j(θ_i(α))=θ_i(θ_j(α))=τ(α_i)=τσ(α)。

故に(ii)によりGal(L/F)はAbel群だから、定理6.5.3が従う。

演習問題4

xⁿ-1∈ℚ[x]の全ての根はζ_nⁱ (0≤i≤n-1)と有理的に表現できるから、

α=ζ_nとしてxⁿ-1の分解体L=ℚ(α)、さらにζ_nⁿ=1よりθ_i(α)=α^[i]_n。

θ_j(θ_i(α))=θ_i(θ_j(α))=α^[i+j]_nなのでxⁿ-1はℚ上のAbel方程式となる。

演習問題5

α=√(2+√2)とすると、5.1節演習問題6によりfの根は±α,±(α²-2)/α。

これよりθ₁(x)=x, θ₂(x)=-x, θ₃(x)=(x²-2)/x, θ₄(x)=-(x²-2)/xとして、

明らかにθ₁(θ_i(x))=θ_i(θ₁(x)) (1≤i≤4)。

θ₂(θ₃(x))=θ₄(x)=θ₃(θ₂(x)), θ₂(θ₄(x))=θ₃(x)=θ₄(θ₂(x)),

θ₃(θ₄(x))=θ₄(θ₃(x))=-[(x²-2)²-2x²]/[x(x²-2)]となりfはAbel方程式。

これは次の演習問題6の例になっている。

演習問題6

(a)

F ⊂Lは正規かつ有限次拡大だから、定理5.2.4により、

Lはある多項式f∈F[x]の分解体なので、

fの根をα₁,...,α_deg(f)とすればL=F(α₁,...,α_deg(f))。

F ⊂Lは分離拡大だから、定義5.3.3により各α_iは分離的なので、

定理5.4.1（原始元の定理）により原始元αが存在して、

L=F(α)かつαは分離的。

(b)

fはαの最小多項式だから、αを根の一つに持つので、

(a)においてα₁=αとする。

L=F(α)だから、Lの任意の元はαのF係数有理式で表現されるので、

各α_iに対し有理式θ_i∈F(x)が存在してα_i=θ_i(α)。

あとは演習問題3とほぼ同様で、命題6.1.4により任意のσ,τ∈Gal(L/F)に対し

σ(α),τ(α)もfの根だから、あるi,j (1≤i,j≤n)が存在して

σ(α)=α_i=θ_i(α), τ(α)=α_j=θ_j(α)。

σ,τ∈は自己同型だから、1≤k≤deg(f)として

σ(α_k)=σ(θ_k(α))=θ_k(σ(α))=θ_k(θ_i(α)), τ(α_k)=τ(θ_k(α))=θ_k(τ(α))=θ_k(θ_j(α))である。

Gal(L/F)はAbel群だから、任意のσ,τ∈Gal(L/F)に対し、Lにおいて

θ_j(θ_i(α))=σ(τ(α))=στ(α)=τσ(α)=τ(σ(α))=θ_i(θ_j(α))となるので、fはF上のAbel方程式。

演習問題7

定理6.5.5(a)が成り立つとする。

すなわちℚ⊂Lは有限次正規拡大で、正規なので代数拡大。

ℚは標数0でだから、命題5.3.7(b)により分離拡大となる。

すると演習問題6によりℚ⊂Lの原始元が存在して、

原始元の最小多項式f=0はℚ上のAbel方程式となる。

したがってKronecker-Weberの定理と定理6.5.5(b)の主張は同値。