コックス「ガロワ理論」 6.1節の演習問題

演習問題1

命題6.1.4(a)によりσ(α_i)はp_iの根だから、、各σ(α_i)のとりうる値は高々deg(p_i)通り。

（p_iが分離的でなければdeg(p_i)より小さい）。命題6.1.4(b)により、

σ(α₁),..., σ(α_n)の異なる可能な組み合わせの数が|Gal(L/F)|だから、

|Gal(L/F)|≤deg(p₁)...deg(p_n)。

演習問題2

5.1節演習問題13においてℚ(√2)上でh=x²-3を考える代わりに、

ℚ(√3)上でg=x²-2を同様に考えることで、ℚ(√3)上恒等写像であって、

τ(√2)=-√2となる体の同型τ: L→Lが構成され、τ∈Gal(L/ℚ)。

τ≠σだから、τ∘σ∈Gal(L/ℚ)はℚ上恒等写像でτ∘σ(√2)=-√2、τ∘σ(√3)=-√3となり、

(6.1)の符号のすべての可能性が起こる。またτ∘σ=σ∘τ。

したがってGal(L/ℚ)⊃{1,τ,σ,σ∘τ}だから|Gal(L/ℚ)|≥4。

演習問題1により|Gal(L/ℚ)|≤deg(g)deg(h)=4だから、|Gal(L/ℚ)|=4。

演習問題3

(a)

ψ: Gal(L₁/F₁)→Gal(L₂/F₂) (σ→φ∘σ∘φ^-1)は明らかに群準同型。

Gal(L₁/F₁), Gal(L₂/F₂)の単位元をそれぞれe₁,e₂とし、

φ(α₁)=α₂ (α₁∈L₁, α₂∈L₂)とすれば、ψ(σ)=φ∘σ∘φ^-1=e₂のとき

α₂=e₂(φ(α₁))=φ∘σ∘φ^-1∘φ(α₁)=φ∘σ(α₁)。したがってσ(α₁)=φ^-1(α₂)=α₁

が任意のα₁∈L₁について成り立つからσ=e₁である。

したがってKer(ψ)={e₁}だから、ψは同型写像となり Gal(L₁/F₁)≃Gal(L₂/F₂)。

(b)

(a)でF₁=F₂=Fとすれば、命題6.1.11が従う。

演習問題4

(a)

α≠0として(1)'=(α/α)'=α'/α'=1∈Ω'。

(b)

Dedekindの写像の核は環としてのΩのイデアルになるが、

Ωは体だから、イデアルは{0}とΩのみである。

核がΩなら任意のα∈Ωについて、Dedekindの写像の作用によってα→α'=0。

これは「α', β'...がすべて0であることはない」事に反する。

Dedekindの写像の核は{0}だから、写像は1対1。

明らかに上への写像だから、環同型写像である。

1=(1)'=(αα^-1)'=α'(α^-1)'なので(α^-1)'=α'^-1だから、体同型である。

・・・ノーテーションがだいぶ曖昧だが。

演習問題5

(a)

√2, √3,√5のℚ上の最小多項式はすべて2次式だから、

演習問題1により|Gal(ℚ(√2,√3,√5)/ℚ)|≤2·2·2=8。

(b)

p_iが素数なら√p_iのℚ上の最小多項式はすべて2次式だから、

演習問題1により|Gal(ℚ(√p₁,...,√p_n)/ℚ)|≤2ⁿ。

演習問題6

√6·√15=3√10より√10∈ℚ(√6,√15)だから、実はL=ℚ(√6,√15)なので、

|Gal(L/ℚ)|≤4。

演習問題7

(a)

σは環準同型で、Ker(σ)はLの環としてのイデアルだが、

Lは体だからKer(σ)={0}またはL。

Ker(σ)=Lならa∈Fについてもσ(a)=0だから、

σがF上恒等写像であることに反する。

したがってKer(σ)={0}だからσは1対1。

(b)

F上のベクトル空間としての基底を

1, v₁,...,v_n-1 (n=[L:F])とし、α=a₀+a₁v₁+...+a_n-1v_n-1(a₀,...,a_n-1∈F)とすると、

σ(α)=a₀+a₁σ(v₁)+...+a_n-1σ(v_n-1)。

あるl₀,...,l_n-1∈Fが存在してl₀+l₁σ(v₁)+...+l_n-1σ(v_n-1)=0になったとすると、

σはF上恒等な環同型だから、σ(l₀+l₁v₁+...+l_n-1v_n-1)=0より(a)から

l₀+l₁v₁+...+l_n-1v_n-1=0となる。

1, v₁,...,v_n-1の線形独立性からl₀=...=l_n-1=0なので、1,σ(v₁),...,σ(v_n-1)は線形独立。

したがって、線形写像α→σ(α)の階数はnとなり、

任意のγ∈Lについて逆像σ^-1(γ) ∈Lが一意に存在するから、σは全射。

故にσは環の自己同型である。

任意のγ∈Lについて、σはF上恒等なので1=σ(1)=σ(γγ^-1)=σ(γ)σ(γ^-1)だから

σ(γ^-1)=σ(γ)^-1なので、σは体の自己同型。