コックス「ガロワ理論」 5.3節の演習問題1

演習問題1

g=∑_i g_ixⁱ (0≤i≤deg(g)), h=∑_j h_jx^j (0≤j≤deg(h))とすると、

g'=∑_i ig_ix^i-1, h'=∑_i jh_jx^j-1より、

(ag+bh)'=a∑_i ig_ix^i-1+b∑_i jh_jx^j-1=ag'+bh'。

(gh)'=∑_i∑_j (i+j)g_ih_jx^i+j-1=∑_i ig_ix^i-1∑_j h_jx^j +∑_i g_ixⁱ∑_i jh_jx^j-1=g'h+gh'。

演習問題2

(a)

Fは体なのでpは素数だから、p>2では(-1)^p=-1、p=2では(-1)^p=1=-1なので、

(α-β)^p=α^p+(-β)^p=α^p+(-1)^pβ^p=α^p-β^p。

(b)

(α+β)^pe=(α^p+β^p)^pe-1=...=α^pe+β^pe

演習問題3

(a)

補題5.3.5により明らか。

(b)

補題5.3.10と演習問題2(a)によりx^p-1=(x-1)^pとF上完全分解するので、

1のp乗根は1のみである。

演習問題4

n=deg(f)、f=∑_i a_ixⁱ (0≤i≤n)とする。

(2.29)(2.30)式により基本対称式をσ₁,..., σ_n、求値写像をφ: σ_i→(-1)ⁱa_iとして、

Δ∈ℤ[σ₁,..., σ_n]について、Δ(f)=φ(Δ)∈ℤである。

pを法として還元する写像をφ_pとし、b_i≣a_i (mod p) (0≤b_i≤p-1)とすれば、

f_p=φ_p(f)=∑_i b_ixⁱ、またφ∘φ_p: σ_i→(-1)ⁱb_i (mod p)なので、

Δ(f_p)=Δ(φ_p(f))=φ∘φ_p(Δ)=Δ(f) (mod p)となる。

演習問題5

Maximaでfの終結式を計算し（コマンドはMapleと同じ）、

Res(f,f',x)=870199=11·239·331。

(5.17)式からΔ(f)=-11·239·331なので、p∈{11,239,331}ならば、

演習問題4によりΔ(f)=Δ(f_p)=0 (mod p)となりfは分離的でない。

演習問題6

F⊂Lはある分離多項式f∈F[x]の分解体だから、

fの根をα₁,..., α_deg(f)とすればこれらは全て単根で、

定義5.1.1によりL=F(α₁,..., α_deg(f))である。

p₁,..., p_s (s≤deg(f))をF上の既約多項式としてf=p₁...,p_sとすると、補題5.3.4により、

各α_iはp₁,..., p_s の中のただ一つの既約分離多項式におけるL上の根で、

p₁,..., p_s は全て分離的、かつどの2つも互いに他の倍式でない。

α_iをp_rがL上で根に持つとすれば、p_rは既約なので命題4.1.5により

p_rはα_iのF上の最小多項式の単数倍。各p_rは分離的だから、

定義5.3.3により全てのα₁,..., α_deg(f)は分離的となる。

したがって定理5.3.15(a)により、F⊂L=F(α₁,..., α_deg(f))は分離拡大。