コックス「ガロワ理論」 5.2節の演習問題

分解体って不思議・・・。

演習問題1
ℚ(∜2)があるℚ上の多項式fの分解体と仮定する。

g=x⁴-2はSchönemann-Eisenstein判定法（定理4.2.3）においてp=2とおくことにより、

ℚ上既約で、∜2は一つの根である。

故に命題5.2.1により、gはℚ(∜2)上完全分解しなければならない。

ところがℚ(∜2)⊂ℝ だから、gの他の根∜2ζ₄=i∜2∉ℚ(∜2)なので、

gがℚ(∜2)上完全分解することは不可能。

よってℚ(∜2)が分解体となるℚ上の多項式は存在しない。

演習問題2

F⊂Lは代数拡大なので、全てのα∈LはF[x]の元に根を持つ。

すると補題4.1.3により任意のαのについてF上の最小多項式p∈F[x]が存在して、

命題4.1.5によりpはF上既約だから、

P_F⊂L[x]={p|α∈L , p∈F[x], p(α)=0, pはαのF上の最小多項式}とすれば、

P_F⊂L[x]はLに根を持つすべてのF上の既約多項式の集合。

全てのα∈L に対して、F上のαの最小多項式がL上完全分解するとすると、

P_F⊂L[x]の全ての元がL上完全分解するから、定義5.2.3によりF⊂Lは正規。

逆にF⊂Lが正規なら、定義5.2.3によりP_F⊂L[x]の全ての元がL上完全分解するので、

全てのα∈L に対して、F上のαの最小多項式がL上完全分解する。

演習問題3

(a)

1, ζ_n, ζ_n²,...,ζ_n^n-1∈ℚ(ζ_n)と命題A.2.1から、ℚ(ζ_n)はxⁿ-1∈ℚ[x]の分解体。

定理5.2.4によりℚ⊂ℚ(ζ_n)は正規拡大となる。

(b)

ℚ(√2,∛2)⊂ℝだから、ℚ(√2,∛2)は、

∛2の ℚ上の最小多項式x³-2の他の根∛2ω,∛2ω²∈ℂ∖ℝを含まない。

したがって、x³-2はℚ(√2,∛2)上完全分解しないから、ℚ⊂ℚ(√2,∛2)は正規でない。

(c)

x³-tの分解体Lにおいてt=α³なので、L上でx³-t=x³-α³=(x-α)³だから、

x³-tの根はαのみとなり、L=F(α)。

したがって定理5.2.4によりF₃(t)⊂F(α)は正規拡大。

演習問題4

代数的数の体をℚ としてℚ⊂ℚは、定理4.4.10により明らかに正規拡大で、

4.4節演習問題1により無限次拡大である。